2019-2020年高中数学 圆锥曲线复习知识精讲 理 苏教版选修2-1.doc

2019-2020 年高中数学 圆锥曲线复习知识精讲 理 苏教版选修 2-1 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 圆锥曲线复习 二. 教学目标： 1. 通过小结与复习，能较准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系 2. 通过本节教学能较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方 法坐标法； 本周知识要点 一. 知识归纳： 名 称 椭圆 双曲线 图 象 xOy x Oy 定 义 平面内到两定点的距离的和为常数 （大于）的动点的轨迹叫椭圆即 当 22 时，轨迹是椭圆， 当 22 时，轨迹是一条线段 当 22 时，轨迹不存在 平面内到两定点的距离的差的绝对值 为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即 当 22 时，轨迹是双曲线 当 22 时，轨迹是两条射线 当 22 时，轨迹不存在 标准 方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：根据分母的大小来判断焦点在哪 一坐标轴上 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 常数 的关 系 ， ， 最大， ， 最大，可以 渐近 线 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 抛物线： 图 形 x yOFlyl 方 程 焦 点 准 线 （一）椭圆 1. 椭圆的性质：由椭圆方程 （1）范围：，椭圆落在组成的矩形中。 （2）对称性:图象关于 y 轴对称。图象关于 x 轴对称。图象关于原点对称。原点 叫椭圆的对称中心，简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以 看出它的范围，对称的截距。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点：， 。加两焦点共有六个特殊点。叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴。 长分别为。分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。 。 。 椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特 例。椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为是椭圆在时的特例。 2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数， 那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率。 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程 对于，左准线；右准线 对于，下准线；上准线 焦点到准线的距离 cbacp222（焦参数） （二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性 由标准方程，从横的方向来看，直线 xa,xa 之间没有图象，从纵的方向来看， 随着 x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样 是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。 （2）顶点 顶点：，特殊点： 实轴：长为 2a,a 叫做实半轴长。虚轴：长为 2b，b 叫做虚半轴长。 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。 （3）渐近线 过双曲线的渐近线（） （4）离心率 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：e1 双曲线形状与 e 的关系： 1222 eaccabk ，e 越大，即渐近 线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线 的离心率越大，它的开口就越阔。 2. 等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率。 3. 共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成。 4. 共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双 曲线。区别：三量 a,b,c 中 a,b 不同（互换）c 相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共 轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变为1。 5. 双曲线的第二定义：到定点 F 的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲 线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数 e 是双曲线的离心率。 6. 双曲线的准线方程： 对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线； 焦点到准线的距离（也叫焦参数） 。 对于来说，相对于下焦点对应着下准线；相对于上焦点对应着上准线。 （三）抛物线的几何性质 （1）范围 因为 p0，由方程可知，这条抛物线上的点 M 的坐标（x，y）满足不等式 x0，所以 这条抛物线在 y 轴的右侧；当 x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方 无限延伸。 （2）对称性 以y 代 y，方程不变，所以这条抛物线关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛 物线的轴。 （3）顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当 y0 时，x0，因此抛物线 的顶点就是坐标原点。 （4）离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表 示。由抛物线的定义可知，e1。 【典型例题】 例 1. 根据下列条件，写出椭圆方程 （1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为 1/2、长轴长为 8； （2）和椭圆 9x24y 236 有相同的焦点，且经过点（2，3） ； （3）中心在原点，焦点在 x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴 上较近顶点的距离是。 分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据 a2b 2c 2及已知条件确定 a2、b 2的值进而写出标准方程。 解：（1）焦点位置可在 x 轴上，也可在 y 轴上 因此有两解： 161y62去 （2）焦点位置确定，且为（0， ） ，设原方程为,（ab0） ，由已知条件有 14952ba，故方程为。 （3）设椭圆方程为,（ab0） 由题设条件有及 a2b 2c 2，解得 b 故所求椭圆的方程是。 例 2. 直线与双曲线相交于 A、B 两点，当为何值时，A、B 在双曲线的同一支上？当为何 值时，A、B 分别在双曲线的两支上？ 解：把代入 整理得：（1） 当时， 由0 得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点 若 A、B 在双曲线的同一支，须0，所以或。 故当或时，A、B 两点在同一支上；当时，A、B 两点在双曲线的两支上。 例 3. 已知抛物线方程为（p0） ，直线过抛物线的焦点 F 且被抛物线截得的弦长为 3，求 p 的值。 解：设与抛物线交于 12(,),|3.xyAB则 由距离公式|AB| |y|2|y|k1)(- 21221 则有 由 02yx，)1(2 pxpy去去 .,.04211 从而 22214)y 即 由于 p0，解得 【模拟试题】 （答题时间：40 分钟） 1. 是任意实数，则方程所表示的曲线不可能是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 2. 已知椭的一条准线方程是，则实数的值是（ ） A. 7 或7 B. 4 或 12 C. 1 或 15 D. 0 3. 双曲线的离心率，则的取值范围为（ ） A. B. （12，0） C. （3，0） D. （60，12） 4. 以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点 A（2，1） ，的焦点为 F，P 是的点，为使取得最小值，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的渐近线方程为，一条准线方程为，则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线到直线距离最近的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 动圆的圆心在抛物线上，且动圆与直线相切，则动圆必过定点（ ） A. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （0，2） 10. 到定点（2，0）的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程为 _。 11.双曲线的一条准线是，则_。 12. 已知点（2，3）与抛物线的焦点距离是 5，_。 13. 中心在原点，一个焦点为 F1（0， ）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的 方程。 14. 已知双曲线的中心在原点，过右焦点 F（2，0）作斜率为的直线，交双曲线于 M、N 两点，且4，求双曲线方程。 【试题答案】 1. C 2. C 3. B 4. A 5. B 6. A 7. A 8. B 9. B 10. 11. 12. 4 13. 分析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理 及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由 F1（0， ）知，c， ，最后解关于 a、b 的方程 组即可。 解：设椭圆的标准方程为 由 F1（0， ）得 把直线方程代入椭圆方程整理得： 0)4(2)9( 22 abxba 设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得： ， 又 AB 的中点横坐标为， 2196221ba ，与方程联立可解出 故所求椭圆的方程为： 14. 解：设所求双曲线方程为（a0，b0） ，由右焦点为（2，0） 。知 c2，b 24a 2 则双曲线方程为，设直线 MN 的方程为：，代入双曲线方程整理得：（208a 2） x212a 2x5a 432a 20 设 M（x 1,y1）,N（x 2,y2） ,则 2121453xN 480358022 aa 解得：， 故所求双曲线方程为：