2019-2020年高中数学 2-4-2第2课时 抛物线的简单几何性质同步检测 新人教版选修2-1.doc

2019-2020年高中数学 2-4-2第2课时 抛物线的简单几何性质同步检测 新人教版选修2-1一、选择题1过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1) 、B(x2，y2)两点，如果x1x26，那么，|AB|等于()A8B10C6D4答案A解析由题意，|AB|x11x21(x1x2)2628，选A.2到点(1,0)与直线x3的距离相等的点的轨迹方程为()Ax24y4By24x4Cx28y8 Dy28x8答案D解析由已知得|x3|，变形为：y28x8，故选D.3(xx湖南文，5)设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4B6C8D12答案B解析本题考查抛物线的定义由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是426.4已知A、B在抛物线y22px(p0)上，O为坐标原点，如果|OA|OB|，且AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是()Axp0 B4x3p0C2x5p0 D2x3p0答案C解析如图所示：F为垂心，F为焦点，OAOB，OF垂直平分AB.AB为垂直于x轴的直线设A为(2pt2,2pt)(t0)，B为(2pt2，2pt)，F为垂心，OBAFkOBkAF1，即1，解得t2AB为x2pt2p，选C.5过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则的值是()A12 B12C3 D3答案D解析设A(，y1)，B(，y2)，则(，y1)，(，y2)，则(，y1)(，y2)y1y2，又AB过焦点，则有y1y2p24，y1y243，故选D.6(xx中山市高二期末)若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案D7在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x2y3距离相等的点的轨迹是()A直线 B抛物线C圆 D双曲线答案A解析点(1,1)在直线x2y3上，轨迹为过点(1,1)且与x2y3垂直的直线8抛物线yx2上的点，到直线4x3y80距离的最小值是()A.B.C.D3答案A解析抛物线yx2上到直线4x3y80的距离最小的点也就是抛物线yx2的与4x3y80平行的切线的切点设切线方程为4x3yb0，联立与yx2组成的方程组，解得切点为(，)最小距离为d.9过抛物线y24x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在答案B解析由定义|AB|527，|AB|min4，这样的直线有两条10直线l经过抛物线y22px(p0)的焦点F，且与抛物线交于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S.如果|PF|a，|QF|b，M为RS的中点，则|MF|的值为()Aab B.(ab)Cab D.答案D解析根据抛物线的定义，有|PF|PR|，|QF|QS|.RFOFRPRFP，SFOFSQSFQ，RFSRFPSFQ.RFS为直角三角形，故|MF|为直角三角形斜边上的中线在直角梯形PRSQ中，|RS|2.故|FM|RS|.二、填空题11已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y24x上运动，则取得最小值时的点P的坐标是_答案(0,0)解析设P，则，y2y288，当且仅当y0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)12已知点A(4,0)，M是抛物线y26x上的动点，当点M到A距离最小时，M点坐标为_答案(1，)解析设M，则|MA|22yyy16(y6)21515，当且仅当y6，即y1，x11时，|MA|取最小值，此时M(1，)13(xx全国文，15)已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若AM，则p_.答案2解析本题考查了抛物线与直线的位置关系由斜率为，M60，又，M为中点BPBM，M为焦点，即1，p2.14已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且抛物线上一点(3，m)到焦点的距离为5，则抛物线的方程为_答案x22y，x22y，x218y，x218y分析应分焦点在y轴正半轴，负半轴两种情况考虑，利用抛物线的定义，结合待定系数法求抛物线方程解析解法一：若焦点在y轴的正半轴上，则可设方程为x22py(p0)准线方程为y，所以m5. 又因为92pm，所以m，所以5.得p1或p9.所以抛物线方程为x22y，或x218y.若焦点在y轴负半轴上，则方程为x22py(p0)，准线方程为y，所以m5，所以5，得p1或p9，所以抛物线的方程为x22y，或x218y.解法二：设抛物线的方程为x22ay(a0)，则p|a|，准线方程为y.依题意有解此方程组可得四组解：所以所求抛物线方程为：x22y，x22y，x218y，x218y.点评注意焦点在x轴或y轴上的抛物线方程可统一设成y22ax(a0)或x22ay(a0)的形式，以简化运算此题没要求求m的值，故解方程组可只求a即可，这样，解法二就更加简捷三、解答题15已知点A在平行于y轴的直线l上，且l与x轴的交点为(4,0)动点P满足平行于x轴，且，求P点的轨迹解析设动点P的坐标为(x，y)，则由已知有A的坐标为(4，y)，所以(4，y)，(x，y)因为，所以0，因此4xy20，即P的轨迹方程为4xy20.轨迹是抛物线16(xx湖北文，20)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0)化简得y24x(x0)(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，此时16(t2m)0.于是又(x11，y1)，(x21，y2)0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20又x，于是不等式等价于y1y2()10y1y2(y1y2)22y1y210由式，不等式等价于m26m14t2对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m10，即32m32由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任意一直线，都有0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|p，求AB所在的直线方程解析解法1：焦点F(，0)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，若ABOx，则|AB|2p0)的准线为x，A(x1，y1)，B(x2，y2)，设A、B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，|AF|dAx1，|BF|dBx2，于是|AB|x1x2pp；x1x2p.当x1x2时，|AB|2pp，直线AB与Ox不垂直设直线AB的方程为yk(x)由得k2x2p(k22)xk2p20.x1x2，即p，解得k2.直线AB的方程为y2(x)或y2(x)