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1.1.3 导数的几何意义,第一章 1.1 变化率与导数,1.理解曲线的切线的含义. 2.理解导数的几何意义. 3.会求曲线在某点处的切线方程. 4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 曲线的切线,答案,切线,如图所示，当点Pn沿着曲线yf(x)无限趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的 .,(1)曲线yf(x)在某点处的切线与该点的位置有关； (2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个.,答案,思考 有同学认为曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线yf(x)只有一个交点，你认为正确吗？,答案 不正确.曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线yf(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示.,函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的 .,知识点二 导数的几何意义,答案,斜率,答案 函数 f(x)在x0处有导数，则在该点处函数 f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率.函数 f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0)处有切线，但函数 f(x)在该点处不一定可导，如 f(x) 在x0处有切线，但不可导.,答案,思考 (1)曲线的割线与切线有什么关系？,答案 曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.,(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？,知识点三 导函数的概念,答案,对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0)是一个确定的数，这样，当x变化时，f(x)便是关于x的一个函数，称它为函数 yf(x)的 ，简称导数，也可记作y， 函数yf(x)在xx0处的导数 就是函数yf(x)在开区间(a，b)(x(a，b)上的导数f(x)在xx0处的函数值，即 f(x0)，所以函数yf(x)在xx0处的导数也记作f(x0).,导函数,思考 如何正确理解“函数f(x)在xx0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系？,返回,答案,答案 “函数yf(x)在xx0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与x无关； “导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，x无关.,题型探究 重点突破,题型一 求曲线的切线方程,解析答案,反思与感悟,1.求曲线在某点处的切线方程 例1 求曲线yf(x)x3x3在点(1,3)处的切线方程.,解 因为点(1,3)在曲线上，过点(1,3)的切线的斜率为,故所求切线方程为y32(x1)， 即2xy10.,反思与感悟,若求曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点P(x0，y0)在曲线yf(x)上，且是切点，其切线方程为yy0f(x0)(xx0).,解析答案,解析答案,(2)曲线yf(x)x3在点P处切线斜率为3，则点P的坐标为 .,解析 设点P的坐标为 ，则有,点P的坐标是(1,1)或(1，1).,(1，1)或(1,1),解析答案,2.求曲线过某点的切线方程 例2 求过点(1，2)且与曲线y2xx3相切的直线方程.,反思与感悟,解析答案,又切线过点(1，2)，,反思与感悟,即19x4y270. 综上可知，过点(1，2)且与曲线相切的直线方程为 y2x或19x4y270.,反思与感悟,反思与感悟,若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.,解析答案,跟踪训练2 求过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程.,解析答案,设所求切线的切点为A(x0，y0). 点A在曲线yx2上， y0 . 又A是切点， 过点A的切线的斜率y| 2x0. 所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，,解得x01或x05. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k12x02； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010. 所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)和y2510(x5)， 即2xy10和10xy250.,题型二 求导函数,解析答案,解 yf(xx)f(x),反思与感悟,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 已知函数f(x)x21，求f(x)及f(1).,解 因yf(xx)f(x) (xx)21(x21) 2xx(x)2，,得f(x)2x，f(1)2.,题型三 导数几何意义的综合应用,反思与感悟,例4 设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值.,解 yf(xx)f(x) (xx)3a(xx)29(xx)1(x3ax29x1) (3x22ax9)x(3xa)(x)2(x)3，,由题意知f(x)最小值是12，9 12，a29， a0，a3.,解析答案,与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练4 (1)已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图所示，记k1f(1)，k2f(2)，k3f(2)f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为 .(请用“”连接),k1k3k2,解析 结合导数的几何意义知，k1就是曲线在点A处切线的斜率， k2则为在点B处切线的斜率， 而k3则为割线AB的斜率，由图易知它们的大小关系.,解析答案,解析答案,因对“在某点处”“过某点”分不清致误,例5 已知曲线yf(x)x3上一点Q(1,1)，求过点Q的切线方程.,返回,防范措施,易错易混,错解 因y3x2，f(1)3. 故切线方程为3xy20. 错因分析 上述求解过程中，忽略了当点Q不是切点这一情形，导致漏解. 正解 当Q(1,1)为切点时， 可求得切线方程为y3x2. 当Q(1,1)不是切点时，设切点为P(x0， )，,解析答案,防范措施,所以(x01)2(2x01)0，,综上，所求切线的方程为3xy20或3x4y10.,防范措施,解题前，养成认真审题的习惯，其次，弄清“在某点处的切线”与“过某点的切线”，点Q(1,1)尽管在所给曲线上，但它可能是切点，也可能不是切点.,返回,防范措施,当堂检测,1,2,3,4,5,1.下列说法中正确的是( ) A.和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线 B.和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线 C.曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点 D.曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点,D,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( ) A.4 B.16 C.8 D.2,C,解析答案,即k8.,1,2,3,4,5,3.若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则( ) A.a1，b1 B.a1，b1 C.a1，b1 D.a1，b1,解析答案,A,a1. 又(0，b)在切线上， b1，故选A.,1,2,3,4,5,解析答案,A.30 B.45 C.135 D.165,B,y|x11.点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45.,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为 .,(3,30),令4x0416得x03， P(3,30).,课堂小结,返回,2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导函数yf(x)在xx0处的一个函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.,
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