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第四章,数系的扩充与 复数的引入,1,知识网络 整体构建,2,要点归纳 主干梳理,3,题型探究 重点突破,章末复习提升,1.复数的概念： (1)虚数单位i； (2)复数的代数形式zabi(a,bR)； (3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数.,2.复数集,复数abi (a,bR),3.复数的四则运算,若两个复数z1a1b1i,z2a2b2i(a1,b1,a2,b2R) (1)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i； (2)减法：z1z2(a1a2)(b1b2)i； (3)乘法：z1z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i；,(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；,题型一 分类讨论思想的应用,当复数的实部与虚部含有字母时,利用复数的有关概念进行分类讨论.分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数.当xyi没有说明x,yR时,也要分情况讨论.,例1 实数k为何值时,复数(1i)k2(35i)k2(23i)满足下列条件？ (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数. 解 (1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i. (1)当k25k60时,即k6或k1时,该复数为实数. (2)当k25k60时,即k6且k1时,该复数为虚数.,跟踪训练1 当实数a为何值时,za22a(a23a2)i. (1)为实数； 解 zRa23a20,解得a1或a2. (2)为纯虚数；,故a0.,(3)对应的点在第一象限内；,a的取值范围是(,0)(2,).,(4)复数z对应的点在直线xy0. 解 依题设(a22a)(a23a2)0,a2.,题型二 数形结合思想的应用,数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.本章中,复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.,例2 已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为12i,26i,OABC.求顶点C所对应的复数z. 解 设zxyi,x,yR,如图. OABC,|OC|BA|, kOAkBC,|zC|zBzA|,|OA|BC|, x23,y24(舍去),故z5.,跟踪训练2 已知复数z1i(1i)3. (1)求|z1|；,(2)若|z|1,求|zz1|的最大值.,解 如图所示,由|z|1可知,z在复平面内对应的点 的轨迹是半径为1,圆心为O(0,0)的圆,而z1对应着坐 标系中的点Z1(2,2).所以|zz1|的最大值可以看成是点Z1(2,2)到圆上的点的距离的最大值.,题型三 转化与化归思想的应用,在求复数时,常设复数zxyi(x,yR),把复数z满足的条件转化为实数x,y满足的条件,即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要.,解 设zxyi(x,yR), 则z2ix(y2)i为实数,y2.,x4.z42i, 又(zai)2(42iai)2(124aa2)8(a2)i在第一象限.,实数a的取值范围是(2,6).,跟踪训练3 已知x,y为共轭复数,且(xy)23xyi46i,求x,y. 解 设xabi(a,bR),则yabi. 又(xy)23xyi46i, 4a23(a2b2)i46i,题型四 类比思想的应用,复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式的分子分母有理化,且要注意i21. 在运算的过程中常用来降幂的公式有 (1)i的乘方：i4k1,i4k1i,i4k21,i4k3i(kZ)； (2)(1i)22i；,课堂小结,高考对本章考查的重点 1.对复数的概念的考查是考查复数的基础,要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念.,2.对复数四则运算的考查可能性较大,要加以重视,其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算,将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成abi(a,bR)的结构形式. 3.对复数几何意义的考查.在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.,
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