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第二章 空间向量与立体几何,1 从平面向量到空间向量,1.了解空间向量的概念. 2.经历向量的有关概念由平面向空间推广的过程. 3.了解空间中直线的方向向量，平面的法向量，共面向量与不共面向量的概念.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 空间向量 (1)在空间中，既有 又有 的量，叫作空间向量. (2)向量用 表示，如：a，b.也可用大写字母表示， 如： ，其中 叫作向量的起点， 叫作向量的终点. (3)数学中所讨论的向量与向量的 无关，称之为自由向量. (4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用 或 表示.,答案,|a|,大小,方向,小写字母,A,B,起点,答案,(6)向量夹角的范围：规定 .,当a，b0或时，向量a与b ，记作 .,a，b,0a，b,ab,ab,AOB,垂直,平行,知识点二 向量、直线、平面 (1)所谓直线的方向向量是指和这条直线 或 的向量，一条直线的方向向量有 个. (2)如果直线l垂直于平面，那么把直线l的 ， 叫作平面的法向量. 平面有 个法向量，平面的所有法向量都 . (3)空间中，若一个向量所在直线 一个平面，则称这个向量平行于该平面. (4)把 的一组向量称作共面向量， 的一组向量称为不共面向量. (5)平行于一个平面的向量 于该平面的法向量.,答案,垂直,平行,重合,无数,方向向量,无数,平行,平行于,平行于同一平面,不平行于同一个平面,答案,返回,题型探究 重点突破,题型一 空间向量的概念 例1 判断下列命题的真假. (1)空间中任意两个单位向量必相等； 解 假命题.因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同. (2)方向相反的两个向量是相反向量； 解 假命题.因为方向相反的两个向量模不一定相等. (3)若|a|b|，则ab或ab； 解 假命题.因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的.,解析答案,解析答案,反思与感悟,反思与感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.,解析答案,跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，,解析答案,反思与感悟,题型二 直线的方向向量与平面的法向量,解析答案,反思与感悟,PDB90， BDPD，BDAD， BD平面PAD.,反思与感悟,PEB90，PEBE， 又PEAD，PE平面ABCD，,反思与感悟,(1)搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系； (2)要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法，在把向量问题转化为几何问题时，注意其等价性.,解析答案,跟踪训练2 如图所示，四棱锥PABCD中，PD面ABCD，底面ABCD为正方形且PDADCD，E、F分别是PC、PB的中点. (1)试以F为起点作直线DE的方向向量； 解 E、F分别是PC、PB的中点，,取AD的中点M，连接MF， 则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，,解析答案,(2)试以F为起点作平面PBC的法向量. 解 PD面ABCD，PDBC， 又BCCD，BC面PCD， DE面PCD，DEBC， 又PDCD，E为PC中点， DEPC，从而DE面PBC，,解析答案,题型三 空间向量的夹角 例3 如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，求：,解析答案,反思与感悟,解 连接BC1，A1C1，A1B，,反思与感悟 本题研究了三个特殊的夹角，在数学中所研究的向量是与向量的起点无关的自由向量，可以设法将向量平移到同一起点上，然后再研究向量之间的夹角问题.,解析答案,跟踪训练3 在正方体ABCDA1B1C1D1中求下列向量的夹角：,解 在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱DD1底面ABCD，AC面ABCD，,解 连接AD1，则ACCD1AD1，,解析答案,又ACCB1AB1，,解析答案,返回,解 方法一 连接BD，则ACBD， 又ACDD1，BDDD1D.AC面BD1D，,方法二 连接BD交AC于点O，取DD1的中点M，,在MAC中，MAMC，O为AC的中点，MOAC.,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ab|a|b|；|a|b|ab.,B,1,2,3,4,5,解析答案,2.在平行六面体ABCDABCD中，各条棱所在的向量中，模与向量 的模相等的向量有( ) A.7个 B.3个 C.5个 D.6个,A,1,2,3,4,5,解析答案,3.下列说法中正确的是( ) A.若|a|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量，则|a|b| C.空间向量的减法满足结合律,解析 若|a|b|，则a，b的长度相等，方向不确定，故A不正确； 相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故B正确； 空间向量的减法不满足结合律，故C不正确；,B,解析答案,4.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，各条棱所在的向量中，与向量 相等的向量共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,C,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析答案,5.两向量共线是两向量相等的_条件. 解析 两向量共线就是两向量同向或反向，包含相等的情况.,必要不充分,课堂小结,空间两向量的夹角 (1)计算步骤：一作，二证，三算. (2)作法 平移法：在一向量所在直线上选取“特殊点”，作另一向量所在直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线. 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两向量所在直线的关系，从而确定两向量的夹角.,返回,
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