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第 2章 推理与证明,章末复习提升,1.了解推理的概念. 2.理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等. 3.掌握直接证明与间接证明. 4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 合情推理与演绎推理 1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明. 2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.,知识点二 直接证明与间接证明 直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.,思考 反证法通常适用于哪些问题？ 答案 反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题.,答案,知识点三 数学归纳法 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)nn0时结论成立.第二步(归纳递推)假设nk时，结论成立，推得nk1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立. 思考 何为探索性命题？其解题思路是什么？ 答案 探索性命题是试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.,答案,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一 合情推理及应用 例1 观察下列各式： ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10_. 解析 记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134； f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11. 通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)， 则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47； f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123. 所以a10b10123.,123,反思与感悟,反思与感悟,归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明.尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用. 运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证.,解析答案,跟踪训练1 自然数按下表的规律排列 则上起第2 014行，左起第2 015列的数 为_. 2 0142; 2 0152； 2 0132 014; 2 0142 015.,解析 经观察可得这个自然数表的排列特点： (1)第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方， 即第n行的第1个数为n2； (2)第一行第n个数为(n1)21； (3)第n行从第1个数至第n个数依次递减1； (4)第n列从第1个数至第n个数依次递增1. 故上起第2 014行，左起第2 015列的数，应是第2 015列的第2 014个数， 即为(2 0151)212 0132 0142 015. 答案 ,解析答案,题型二 直接证明与间接证明,反思与感悟,反思与感悟,反思与感悟,直接证明方法可具体分为比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用.,解析答案,跟踪训练2 已知等差数列an中，首项a10，公差d0.,解 an是等差数列，a11，d2， a47，am2m1.,即2m149.m25.,解析答案,又a10，d0，an1a1ndd，,因此假设不成立，故命题得证.,解析答案,题型三 数学归纳法及应用 例3 已知ai0(i1,2，n)，考察：,归纳出对a1，a2，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明.,反思与感悟,证明：当n1时，显然成立. 假设当nk时，不等式成立，,由可知，不等式对任意正整数n都成立.,反思与感悟,反思与感悟,数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当nk1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的.,解析答案,跟踪训练3 数列an满足Sn2nan(nN*). (1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；,解 当n1时，a1S12a1，a11；,当n4时，a1a2a3a4S424a4，,解析答案,(2)证明(1)中的猜想. 证明 当n1时，a11，结论成立. 假设nk(k1且kN*)时，结论成立，,那么nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1， 2ak12ak.,当nk1时，结论成立.,例4 已知x，yR，且x2y20，求证x，y全为0. 错解 假设结论不成立，则x，y全不为0，即x0且y0， x2y20，与x2y20矛盾，故x，y全为0. 错因分析 x，y全为0的否定应为x，y不全为0，即至少有一个不是0， 得x2y20与已知矛盾. 正解 假设x，y不全为0，则有以下三种可能： x0，y0，得x2y20，与x2y20矛盾； x0，y0，得x2y20, 与x2y20矛盾； x0，y0，得x2y20，与x2y20矛盾. 假设是错误的，x，y全为0.,易错易混,应用反证法证明问题时，因对结论否定不正确致误,解析答案,返回,防范措施,应用反证法证明问题时，首先要否定结论，假设结论的反面成立，当结论的反面呈现多样性时，需罗列出各种可能情形，否定一定要彻底.,返回,防范措施,当堂检测,1,2,3,4,5,1.下列推理正确的是_. 把a(bc)与loga(xy)类比，则loga(xy)logaxlogay； 把a(bc)与sin(xy)类比，则sin(xy)sin xsin y； 把(ab)n与(xy)n类比，则(xy)nxnyn； 把(ab)c与(xy)z类比，则(xy)zx(yz).,答案,解析答案,1,2,3,4,5,2.在ABC中，若sin Asin Ccos Acos C，则ABC形状为_. 解析 由sin Asin Ccos Acos C， 得cos(AC)0，即cos B0, 所以B为锐角，但并不能确定角A和C的情况.,不确定,1,2,3,4,5,解析答案,解析答案,1,2,3,4,5,4.如图是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数an_. 解析 观察知每一个图案中间一行的花盆数 为1,3,5，其中第n个图案中间一行的花盆 数为2n1，往上一侧花盆数依次是2n2,2n3，,3n23n1,解析答案,1,2,3,4,5,(1)求f2(x)，f3(x)；,(2)猜想fn(x)的表达式，并证明.,下面用数学归纳法证明： 当n1时，命题显然成立；,这就是说当nk1时命题也成立.,解析答案,1,2,3,4,5,课堂小结,返回,转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化，数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化，反证法体现的是对立与统一的转化. 从特殊到一般的思想方法即由特殊情况入手，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.与正整数n有关的命题，经常要用到归纳猜想，然后用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般的探求规律的思想.,
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