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2.3 数学归纳法,第二章 推理与证明,1.了解数学归纳法原理. 2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 归纳法及分类,答案,由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为 归纳法和 归纳法， 完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象； 不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径.,完全,不完全,完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法. 与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的. 通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法.,思考 下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数. (1)1,5,9,13,17，( )；,答案,21,8,21,知识点二 数学归纳法,答案,1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立； (归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立. 2.应用数学归纳法时注意几点： (1)用数学归纳法证明的对象是与 有关的命题. (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可. (3)步骤的证明必须以“假设nk(kn0，kN*)时命题成立”为条件.,正整数n,答案,不能保证猜想一定正确，需要严密的证明.,(2)多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？,答案 第一块骨牌倒下； 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 条件事实上给出了一个递推关系， 换言之就是假设第K块倒下， 则相邻的第K1块也倒下.,返回,答案,题型探究 重点突破,题型一 用数学归纳法证明恒成立,解析答案,反思与感悟,例1 求证：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*).,反思与感悟,证明 (1)当n1时，左边112，右边2112，左边右边，等式成立. (2)假设当nk(kN*)时等式成立， 即(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，那么，当nk1时， 左边(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2),2k13(2k1)(2k1)2 2k113(2k1)2(k1)1右边. 当nk1时，等式也成立. 由(1)(2)可知，对一切nN*，原等式均成立.,反思与感悟,用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.,解析答案,解析答案,题型二 证明不等式问题,解析答案,反思与感悟,解析答案,证明 由已知条件可得bn2n(nN*)，,不等式成立. (2)假设当nk(kN*)时，不等式成立.,则当nk1时，,反思与感悟,要证当nk1时，不等式成立，,反思与感悟,当nk1时，不等式成立. 由(1)(2)可知，对一切nN*，原不等式均成立.,用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用.,反思与感悟,解析答案,解析答案,(2)假设当nk时，不等式成立，,则当nk1时，,解析答案,所以当nk1时不等式成立. 由(1)(2)知，不等式对一切nN*都成立.,题型三 用数学归纳法证明整除问题,解析答案,反思与感悟,例3 求证nN*时，an1(a1)2n1能被a2a1整除.,反思与感悟,证明 (1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立. (2)假设当nk(kN*，k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除， 则当nk1时， ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1. 由归纳假设，上式中的两项均能被a2a1整除， 故当nk1时命题成立. 由(1)(2)知，对任意nN*，命题成立.,用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当nk1时的式子中拼凑出当nk时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 用数学归纳法证明对于任意非负整数n，An11n2122n1能被133整除.,证明 (1)当n0时，A011212133，能被133整除. (2)假设当nk(k0)时，Ak11k2122k1能被133整除， 那么当nk1时， Ak111k3122k31111k2122122k1 1111k211122k1(12211)122k1 11(11k2122k1)133122k1， 能被133整除. 由(1)(2)可知，对于任意非负整数n，An都能被133整除.,题型四 用数学归纳法解决平面几何问题,解析答案,反思与感悟,例4 已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)n(n1)2部分.,反思与感悟,证明 (1)当n1时，1个平面把空间分成2部分， 而f(1)1(11)22(部分)，所以命题正确. (2)假设当nk(kN*)时，命题成立， 即k个符合条件的平面把空间分为f(k)k(k1)2(部分)， 当nk1时，第k1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分， 故f(k1)f(k)2kk(k1)22k k(k12)2(k1)(k1)12(部分)， 即当nk1时，命题也成立. 根据(1)(2)，知n个符合条件的平面把空间分成f(n)n(n1)2部分.,用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k1之间的递推关系.,反思与感悟,解析答案,解析答案,证明 (1)当n2时，两条直线的交点只有一个，,当n2时，命题成立. (2)假设当nk(kN*，k2)时命题成立，,那么，当nk1时，,l与其他k条直线的交点个数为k， 从而k1条直线共有f(k)k个交点，,当nk1时，命题成立. 由(1)(2)可知，对任意nN*(n2)命题都成立.,解析答案,因弄错从nk到nk1的增加项致误,防范措施,返回,易错易混,错解 当n1时，,解析答案,防范措施,即n1时不等式成立. 假设nk(k1，且kN*)时不等式成立，,那么，当nk1时，,即nk1时，不等式成立.,正解 当n1时，,即n1时不等式成立.,解析答案,防范措施,防范措施,假设nk(k1，kN*)时不等式成立，,那么，当nk1时，,所以nk1时，不等式成立.,防范措施,当nk1时，可以写出相应增加的项，然后再结合数学归纳法证明.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a4,B,解析答案,解析 当n1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1a，故选B.,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,答案 C,比较可知C正确.,1,2,3,4,5,解析答案,2k,解析 观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，,因此f(2k1)比f(2k)多了2k项.,1,2,3,4,5,解析答案,4.用数学归纳法证明3nn3(n3，nN*)第一步应验证_.,n3时是否成立,解析 n的最小值为3，所以第一步验证n3时是否成立.,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为_.,课堂小结,1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可. 有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础. 2.归纳假设的作用. 在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点： (1)归纳假设就是已知条件； (2)在推证nk1时，必须用上归纳假设.,返回,3.利用归纳假设的技巧. 在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设. 此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系. 在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用. 4.数学归纳法的适用范围. 数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n项和等问题中.,
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