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2.2.2 反证法,第二章 2.2 直接证明与间接证明,1.了解反证法是间接证明的一种方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 间接证明,答案,间接,不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为 证明. 常见的间接证明的方法是 .,反证法,知识点二 反证法,答案,不成立,1.反证法定义 假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾. 这个矛盾可以是与 矛盾,或与 矛盾,或与_ 矛盾等.,假设错误,原命题成立,已知条件,假设,定义、公理、,定理、事实,答案,3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：,至多有一个,n,一个也没有,(n1),任意,某个,一定是,且,不都是,且,思考 (1)有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？,答案 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题. 命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对.,(2)反证法主要适用于什么情形？,答案 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.,返回,答案,题型探究 重点突破,题型一 用反证法证明结论否定的问题,解析答案,反思与感悟,例1 如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分.,反思与感悟,证明 连接AC，CB，BD，DA，假设AB，CD互相平分， 则四边形ACBD为平行四边形， ACBADB，CADCBD. 四边形ACBD为圆的内接四边形， ACBADB180，CADCBD180， ACB90，CAD90， 对角线AB，CD均为圆的直径，与已知条件矛盾， AB，CD不能互相平分.,反思与感悟,对于结论否定型命题，正面证明需要考虑的情况很多，过程烦琐且容易遗漏，故可以考虑采用反证法.一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明.,跟踪训练1 已知正整数a，b，c满足a2b2c2.求证a，b，c不可能都是奇数.,解析答案,证明 假设a，b，c都是奇数， 则a2，b2，c2都是奇数. 左边奇数奇数偶数， 右边奇数，得偶数奇数，矛盾. 假设不成立，a，b，c不可能都是奇数.,题型二 用反证法证明唯一性问题,解析答案,例2 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.,证明 假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行， 即bbA，ba，又ba， 由平行公理知bb. 这与bbA矛盾，故假设错误， 所以过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.,反思与感悟,证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法比用同一法更方便.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直. 已知：平面和一点P. 求证：过点P与垂直的直线只有一条.,证明 如图所示，不论点P在内还是在外， 设PA，垂足为A(或P). 假设过点P不止有一条直线与垂直， 如还有另一条直线PB，设PA，PB确定的平面为，且a， 于是在平面内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾， 假设不成立，原命题成立.,题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题,解析答案,反思与感悟,例3 用反证法证明：如果函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实数根.(不考虑重根),证明 假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实数根， 设，为它的两个实数根， 则f()f()0. 因为，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数， 所以f()f()，这与f()f()0矛盾， 所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实数根.,用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义.,反思与感悟,解析答案,x0且y0，1x2y，且1y2x， 两式相加，得2xy2x2y， xy2，这与已知条件xy2相矛盾，,解析答案,因反证法中的反设不当致误,防范措施,返回,易错易混,解析答案,防范措施,防范措施,故假设不成立.,防范措施,在利用反证法证明问题时，往往要假设命题结论的反面成立，而问题结论的反面一定要全面，漏掉任何一种情况，证明都是不正确的.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( ) A.三角形中至少有一个直角或钝角 B.三角形中至少有两个直角或钝角 C.三角形中没有直角或钝角 D.三角形中三个角都是直角或钝角,B,答案,1,2,3,4,5,2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中( ) A.有一个内角小于60 B.每一个内角都小于60 C.有一个内角大于60 D.每一个内角都大于60,B,答案,1,2,3,4,5,3.“ab C.ab D.ab或ab,D,答案,1,2,3,4,5,4.用反证法证明“在同一平面内,若ac,bc,则ab”时,应假设( ) A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c C.ab D.a与b相交,D,答案,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数.,证明 (反证法)假设a不是偶数， 即a是奇数. 设a2n1(nZ)， 则a24n24n1. 4(n2n)是偶数， 4n24n1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾. 由上述矛盾可知，a一定是偶数.,课堂小结,返回,1.反证法的证题步骤： 反设；推理归谬；存真，即假设不成立，原命题成立. 2.用反证法证明问题时要注意以下三点： (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的. (2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法. (3) 推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.,
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