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2.1.2 演绎推理 2.1.3 推理案例赏析,第 2章 2.1 合情推理与演绎推理,1.了解演绎推理的重要性. 2.掌握演绎推理的基本模式，并能进行一些简单的推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 演绎推理及其一般模式“三段论” 1.演绎推理,答案,2.三段论,一般到特殊,已知的一般原理,所研究的特殊情况,思考 (1)演绎推理的结论一定正确吗？ 答案 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确. (2)如何分清大前提、小前提和结论？ 答案 在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义.,答案,知识点二 演绎推理与合情推理的区别与联系,答案,由一般到特殊的,推理,三段论,在前提和推理形式都正确的前,提下，得到的结论一定正确,按照严格的逻辑法则推理，利,于培养和提高逻辑证明的能力,答案,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一 用三段论的形式表示演绎推理 例1 把下列演绎推理写成三段论的形式. (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ，所以在一个标准大气压下把水加热到100 时，水会沸腾；,解 在一个标准大气压下，水的沸点是100 ， (大前提) 在一个标准大气压下把水加热到100 ， (小前提) 水会沸腾. (结论),解析答案,(2)一切奇数都不能被2整除，21001是奇数，所以21001不能被2整除； 解 一切奇数都不能被2整除， (大前提) 21001是奇数， (小前提) 21001不能被2整除. (结论) (3)三角函数都是周期函数，ytan 是三角函数，因此ytan 是周期函数. 解 三角函数都是周期函数， (大前提) ytan 是三角函数， (小前提) ytan 是周期函数. (结论),反思与感悟,反思与感悟,三段论由大前提、小前提和结论组成.大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的.,解析答案,跟踪训练1 将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)0.332是有理数； 解 有限小数是有理数， (大前提) 0.332是有限小数， (小前提) 0.332是有理数. (结论) (2)ycos x(xR)是周期函数； 解 三角函数是周期函数， (大前提) 函数ycos x(xR)是三角函数， (小前提) 函数ycos x(xR)是周期函数. (结论),解析答案,(3)RtABC的内角和为180. 解 三角形内角和是180， (大前提) RtABC是三角形， (小前提) RtABC的内角和为180. (结论),解析答案,题型二 演绎推理在证明数学问题中的应用 例2 在锐角三角形中，求证sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.,同理sin Bcos C， sin Ccos A. 以上两端分别相加，有： sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.,即sin Acos B， ,反思与感悟,反思与感悟,(1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略. (2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.,解析答案,证明 a0，b0，ab1，,解析答案,证明 函数定义域为R. 任取x1，x2R且x1x2.,f(x1)f(x2)0. f(x1)f(x2).故f(x)为R上的增函数.,解析答案,题型三 合情推理、演绎推理的综合应用 例3 如图所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC， AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影. (1)求证：O为BCD的垂心； 证明 ABAD，ACAD，ABACA， AD平面ABC，又BC平面ABC. ADBC，又AO平面BCD，BC平面BCD， AOBC，ADAOA，BC平面AOD， DO平面AOD，BCDO，同理可证CDBO， O为BCD的垂心.,解析答案,(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.,反思与感悟,证明如下：连接DO并延长交BC于E，连接AE， 由(1)知AD平面ABC，AE平面ABC， ADAE，又AOED，,AE2EOED，,反思与感悟,合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).,解析答案,跟踪训练3 已知命题：“若数列an是等比数列，且an0，则数列bn (nN*)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.,解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是： 若数列an是等差数列，,证明如下： 设等差数列an的公差为d，,易错易混,三段论中因忽视大(小)前提致误,解析答案,返回,防范措施,解析答案,防范措施,由三式相加得a4b4c4a2b2b2c2c2a2. ,三式相加得a2b2b2c2c2a2a2bcab2cabc2. 由得a4b4c4a2bcab2cabc2，又a，b，cR，,错因分析 以上过程忽视了小前提“a，b，c不全相等”，因此两式中均为“”.,同理b2c2c2a22abc2，c2a2a2b22a2bc，,防范措施,又a，b，c不全相等，故三式相加，得a4b4c4a2b2b2c2c2a2. 又a2b2b2c22ab2c，b2c2c2a22abc2，c2a2a2b22a2bc， 且a，b，c不全相等，三式相加得 a2b2b2c2c2a2a2bcab2cabc2， 由得a4b4c4a2bcab2cabc2，,利用三段论推理时，正确使用大(小)前提，尤其注意数学中有关公式、定理、性质、法则的使用情形.,返回,防范措施,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.下列推理中是演绎推理的是_. 全等三角形的对应角相等，如果ABCABC，则AA； 某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人数均超过50人； 由平面内三角形的性质，推测空间中四面体的性质；,解析 是归纳推理，是类比推理，是归纳推理.,解析答案,1,2,3,4,5,2.指数函数都是增函数， (大前提) 函数y 是指数函数， (小前提) 所以函数y 是增函数. (结论) 上述推理错误的原因是_.,解析 大前提错误. 因为指数函数yax(a0， 且a1)在a1时是增函数， 而在0a1时为减函数.,大前提不正确,1,2,3,4,5,3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2x)f(2x)，则f(x)的周期是_.,解析 f(x4)f(x22)f(22x)f(x)f(x)， f(x8)f4(4x)f(x4)f(x)f(x). T8是它的周期.,8,解析答案,解析答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析 由2an1Sn3得2anSn13(n2)，两式相减， 得2an12anan0，化简得2an1an(n2)，,解得n3或4，所以所有n的和为7.,答案 7,解析答案,1,2,3,4,5,当且仅当abc时取等号.,课堂小结,返回,数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的，三段论是由三个判断组成的，其中的两个为前提，另一个为结论.第一个判断是提供性质的一般判断，叫做大前提，通常是已知的公理、定理、定义等，第二个判断是和大前提有联系的特殊判断，叫做小前提，从而产生了第三个判断结论.在推理论证的过程中，一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成，而大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省去，而采取某种简明的推理格式.,
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