2019-2020年高三数学一轮总复习第八章立体几何课时跟踪检测理.doc

2019-2020年高三数学一轮总复习第八章立体几何课时跟踪检测理1简单几何体(1)简单旋转体的结构特征：圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；球可以由半圆或圆绕直径旋转得到(2)简单多面体的结构特征：棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形2直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半小题体验1关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是_(填序号)棱柱的侧棱长都相等；四棱锥有四个顶点；三棱台的上、下底面是相似三角形；有的棱台的侧棱长都相等解析：根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点，故说法不正确，由棱柱、棱台的结构，知说法正确答案：2.如图，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是_ cm.解析：将直观图还原为平面图形，如图所示可知周长为8 cm.答案：83(xx金陵中学检测)下列结论正确的是_(填序号)各个面都是三角形的几何体是三棱锥；以三角形的一条边所在直线为轴，旋转一周得到的几何体叫圆锥；棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥；圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，则所得的几何体就不是圆锥，故错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故错误；由圆锥母线的定义，知正确答案：1台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点2注意斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变“三不变”平行性不改变，与x，z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变小题纠偏1下列说法正确的是_(填序号)有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台；多面体至少有3个面；各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形解析：说法错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以说法错误；说法错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知说法正确答案：2下面关于利用斜二测画法得到直观图的叙述正确的是_(填序号)正三角形的直观图是正三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；矩形的直观图是矩形；圆的直观图是圆解析：直观图改变了原图中角的大小及图形的形状，所以都不正确，易知正确答案：3.如图所示的正方形ABCD用斜二测画法得到的直观图是一个平行四边形，平行四边形中有一条边的边长为4，则此正方形的面积是_解析：由题意，可知在直观图(图略)中，若边长为4的边与x轴平行，则原正方形的边长为4，此时正方形的面积为16；若边长为4的边与y轴平行，则原正方形的边长为8，此时正方形的面积为64.答案：16或64题组练透1用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是_解析：截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体答案：球体2下列说法中正确的个数是_以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体不一定是圆锥；以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台；圆锥、圆台的底面都是圆；分别以矩形的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个圆柱是两个不同的圆柱解析：中，若以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，得到的是由两个底面重合的圆锥组成的旋转体，故说法正确；中，必须以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为旋转轴才能得到圆台，若以其余三边所在直线为旋转轴，则不能得到圆台，故说法错误；显然说法正确答案：33下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是_(填序号)解析：中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱经过折叠可以围成一个棱柱答案：谨记通法解决与空间几何体结构特征有关问题3个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型；(3)通过反例对结构特征进行辨析典例引领如图，ABC是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形解：(1)画出直角坐标系xOy，在x轴上取OAOA，即CACA；(2)在图中，过B作BDy轴，交x轴于D，在x轴上取ODOD，过点D作DBy轴，并使DB2DB；(3)连结AB，BC，则ABC即为ABC原来的图形，如图所示由题悟法用斜二测画法画直观图的3个步骤(1)在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行(2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线(3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出即时应用用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为_cm2.解析：依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.答案：8一抓基础，多练小题做到眼疾手快1四棱柱有_条侧棱，_个顶点解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)答案：482给出下列几种说法：圆柱的底面是圆；经过圆柱的任意两条母线的截面是一个矩形；连结圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；圆柱的任意两条母线互相平行其中不正确的个数是_解析：圆柱的母线一定垂直于圆柱的两个底面，而连结圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与底面垂直，所以说法不正确，显然说法正确答案：13给出下列四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱其中正确的命题个数是_解析：反例：直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；显然错误答案：04.(xx南通调研)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面上的数字是_解析：由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与4相对，2与2相对，0与3相对，所以正方体的下面上的数字是2.答案：25如图，线段OA在平面xOy中，它与x轴的夹角为45，它的长为2，OA的直观图OA的长为_解析：过点A作ABOx于B，OA2，AOB45，OBAB2，线段OB的直观图OB2，AB1，OBA135.OA22212221cos 135，OA.答案： 二保高考，全练题型做到高考达标1将等边三角形绕它的一条中线旋转180，形成的几何体是_解析：因为等边三角形是一个对称图形，并且中线过其顶点，底边旋转后成为一个圆，所以形成的几何体是一个圆锥答案：圆锥2把一个圆锥截成圆台，已知圆台上下底面的半径之比为14，母线长为9；则圆锥的母线长是_解析：设该圆锥的轴截面如图所示，由平面几何知识可知，所以，所以CB3，所以BC3912.即圆锥的母线长为12.答案：123如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是_(填序号)三棱锥；四棱锥；五棱锥；六棱锥解析：各个侧面都是等边三角形，故六棱锥的底面的每一条边长都相等，底面是一个六边都相等的六边形当这个六边形是正六边形时，如图可知AD2ABSASD，这时不能构成三角形；当这个六边形不是正六边形时，则AD，BE，CF三条线段中必然有一条大于或等于SASD，这时也不能构成三角形，故这个棱锥不可能是六棱锥序号中都有符合条件的棱锥，故填.答案：4下列关于投影的说法正确的是_(填序号)平行投影的投影线是互相平行的；中心投影的投影线是互相垂直的；线段上的点在中心投影下仍然在线段上；平行的直线在中心投影下不平行解析：平行投影是指投影线互相平行的投影，故是正确的；中心投影的投影线一般是不垂直的；线段上的点在中心投影下可以重合于一点；平行的直线在中心投影下可以平行也可以不平行答案：5.如图所示是水平放置的ABC在直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，原ACB中，ACB30，则原图形中与线段BD的长相等的线段有_条解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD长度相等的线段，把ABC还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以ADDCBD.答案：26设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解析：命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的答案：7如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6，OC2，则原图形OABC的面积为_解析：由题意知原图形OABC是平行四边形，且OABC6，设平行四边形OABC的高为OE，则OEOC，OC2，OE4，SOABC6424.答案：248(xx南京师大附中月考)已知正三角形ABC的边长为a，那么用斜二测画法得到的ABC的平面直观图ABC的面积为_解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图中ABC所示易知，ABABa，OCOCa.过点C作CDAB于点D，则CDOCa.所以SABCABCDaaa2.答案：a29.(xx盐城调研)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，BB12，ABC90，E，F分别为AA1，C1B1的中点，试求沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径解：若将A1B1C1沿A1B1折起，使得E，F在同一平面内，则此时EF .若将侧面沿B1B展成平面，则此时EF .若将A1B1C1沿A1C1折起使得E，F在同一平面内，则此时EF.经比较知沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径为.10.如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值解：作出圆台的轴截面与侧面展开图，如图所示，如图1，由其轴截面中RtOPA与RtOQB相似，得，可求得OA20 cm.如图2，设BOB，由于扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为210 cm.扇形OBB的半径为OAAB202040 cm，扇形OBB所在圆的周长为24080 cm.所以扇形弧的长度20为所在圆周长的.所以OBOB.所以在RtBOM中，BM2402302，所以BM50 cm，即所求绳长的最小值为50 cm.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知菱形ABCD的边长是4，DAB60，则菱形ABCD的斜二测直观图的面积是_解析：由已知得BD4，AC4，且ACBD，所以其斜二测直观图的面积为S44sin 452.答案：22在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：四边形BFD1E有可能为梯形；四边形BFD1E有可能为菱形；四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；四边形BFD1E面积的最小值为.其中正确的是_(填序号)解析：四边形BFD1E为平行四边形，显然不成立，当E，F分别为AA1，CC1的中点时，成立当E，F分别为AA1，CC1的中点时，四边形BFD1E的面积最小，最小值为.答案：3(xx南京调研)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2.(1)求圆台的高；(2)求截得此圆台的圆锥的母线长解：(1)如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形ABCD，作AMBC于点M，连结O1O.由已知可得上底半径O1A2 cm，下底半径OB5 cm，且腰长AB12 cm，AM3(cm)即圆台的高为3 cm.(2)延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l.则由SAO1SBO，可得，l20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.第二节 空间几何体的表面积与体积1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l2空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3小题体验1(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为_，球的表面积与圆柱的侧面积之比为_答案：23112(教材习题改编)已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，它的表面积为_解析：过S作SDBC，BCa，SDa，SSBCa2，表面积S4a2a2.答案：a23已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240，则该圆锥的体积为_解析：圆锥的底面圆的周长为21，设底面圆的半径为r，则有2r，所以r，于是圆锥的高h，故圆锥的体积V2.答案：1易混侧面积与表面积的概念，导致计算时错用公式，漏掉底面积的计算2对几何体的结构特征把握不准，导致空间线面关系的推理、表面积与体积的求解出现错误小题纠偏1正六棱台的上、下两底面的边长分别是1 cm,2 cm，高是1 cm，则它的侧面积为_ cm2.解析：正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1 cm，下底长为2 cm，高为正六棱台的斜高又边长为1 cm的正六边形的中心到各边的距离是 cm，边长为2 cm的正六边形的中心到各边的距离是 cm，则梯形的高为 cm，所以正六棱台的侧面积为6(12) cm2.答案：2若一个球的体积为4，则它的表面积为_解析：设球的半径为R，则R34，R，球的表面积S4R24312.答案：123已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，则该圆柱的体积为_解析：设圆柱的母线长为l，底面圆的半径为r，则当l2a时，2ra，r，这时V圆柱2a2；当la时，2r2a，r，这时V圆柱a2.综上，该圆柱的体积为或.答案：或题组练透1(xx无锡一中检测)等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱)的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积的比值为_解析：设球的半径为R.等边圆柱的表面积S12R2R2R26R2，球的表面积S24R2，所以.答案：2.(xx启东中学检测)如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的表面积是_解析：显然正六棱锥PABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，由已知，可得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥PABCDEF的高为2，则斜高为，所以该正六棱锥的表面积为62666.答案：663已知底面是菱形的直四棱柱的侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，求这个直四棱柱的侧面积解：如图，底面是菱形的直棱柱ABCDABCD中，两条对角线长为AC15，BD9，侧棱长为AADD5，BDD和CAA都是直角三角形，由勾股定理，得AC215252200，BD2925256，可得AC10，BD2.AC，BD分别是菱形ABCD的两条对角线，AC，BD互相垂直平分，且把菱形分成四个全等的直角三角形，两条直角边的长分别为AC5和BD，由勾股定理，得AB8.该直四棱柱的侧面积S485160.谨记通法几何体的表面积2种求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积注意衔接部分的处理典例引领1.(xx南京一中检测)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是_解析：由展开图，可知该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为1，侧棱长也为1，该正四棱锥的高h，其体积V12.答案：2.如图，AA1，BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA1，CB1的中点，DE平面CBB1.(1)证明：DE平面ABC；(2)求四棱锥CABB1A1与圆柱OO1的体积比解：(1)证明：连结EO，OA.E，O分别为B1C，BC的中点，EOBB1，且EOBB1.又DABB1，且DABB1，DA綊EO，四边形AOED是平行四边形，DEOA.又DE平面ABC，AO平面ABC，DE平面ABC.(2)由题意知DE平面CBB1，且由(1)知DEAO，AO平面CBB1，AOBC，ACAB.BC是底面圆O的直径，得CAAB，且AA1CA，CA平面AA1B1B，即CA为四棱锥CABB1A1的高设圆柱高为h，底面半径为r，则Vr2h，Vh(r)(r)r2h.VV.由题悟法求解几何体体积的必备策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解即时应用如图，在四棱锥PABCD中，PAAD，ABCD，CDAD，ADCD2AB2，E，F分别为PC，CD的中点，DEEC.(1)求证：平面ABE平面BEF；(2)设PAa，若三棱锥BPED的体积V，求实数a的取值范围解：(1)证明：因为ABCD，CDAD，ADCD2AB2，F为CD的中点，所以四边形ABFD为矩形，ABBF.因为DEEC，所以DCEF.又ABCD，所以ABEF.因为BFEFF，所以AB平面BEF.又AB平面ABE，所以平面ABE平面BEF.(2)因为PDEF，ABEF，所以ABPD.又ABAD，ADPDD，所以AB平面PAD，所以ABPA.又PAAD，ABADA，所以PA平面ABCD.因为SBCD222，E到平面BCD的距离h，所以VBPEDVBEDCVEBCD2，所以a.故实数a的取值范围为.命题分析与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变常见的命题角度有：(1)正四面体的内切球；(2)直三棱柱的外接球；(3)正方体(长方体)的外接球；(4)四棱锥(三棱锥)的外接球题点全练角度一：正四面体的内切球1(xx苏州模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则_.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.答案：角度二：直三棱柱的外接球2已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为_解析：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA .答案：角度三：正方体(长方体)的外接球3(xx扬州调研一模)已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB3，BC，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则棱锥EABCD的体积为_解析：如图所示，BE过球心O，DE2，VE ABCD322.答案：2角度四：四棱锥(三棱锥)的外接球4(xx盐城模拟)体积为的正四棱锥SABCD的底面中心为O，SO与侧面成的角的正切值为，那么过SABCD的各顶点的球的表面积为_解析：如图，取AB的中点为F，连结SF，过点O作OGSF，则OSG为SO与侧面所成的角， 且tanOSG.设AB2a，则SOa，所以4a2a，得a.延长SO交外接球于E，则EBSB，由OB2SOOE得42(2R2)，所以R2，S42216.答案：165(xx南京四校联考)在正三棱锥SABC中，M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB2，则正三棱锥SABC的外接球的表面积为_解析：如图，由正三棱锥的性质易知SBAC，结合AMSB知SB平面SAC，所以SBSA，SBSC.又正三棱锥的三个侧面是全等的三角形，所以SASC，所以正三棱锥SABC为正方体的一个角，所以正三棱锥SABC的外接球即为正方体的外接球由AB2，得SASBSC2，所以正方体的体对角线为2，所以所求外接球的半径R，所求表面积为4R212.答案：12方法归纳“切”“接”问题处理的注意事项(1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径一抓基础，多练小题做到眼疾手快1一个球的表面积是16，那么这个球的体积为_解析：设球的半径为R，则表面积是16，即4R216，解得R2.所以体积为R3.答案：2若一个圆台的母线长l，上、下底面半径r1，r2满足2lr1r2，且侧面积为8，则母线长l_.解析：S圆台侧(r1r2)l2l28，所以l2.答案：23在三角形ABC中，AB3，BC4，ABC90，若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为_解析：依题意知几何体为底面半径为3，母线长为5的圆锥，所得几何体的侧面积等于3515.答案：154棱长为a的正方体有一内切球，该球的表面积为_解析：由题意知球的直径2Ra，R.S4R24a2.答案：a25如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为3，D为CC1上一点，且CD2DC1，则三棱锥A1BCD的体积_解析：过A1作A1HB1C1，垂足为H.因为平面A1B1C1平面BB1C1C，所以A1H平面BB1C1C，所以VA1BCD323.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为_解析：设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S(r3r)384，解得r7.答案：72若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_解析：因为半圆面的面积为l22，所以l24，解得l2，即圆锥的母线为l2，底面圆的周长2rl2，所以圆锥的底面半径r1，所以圆锥的高h，所以圆锥的体积为r2h.答案：3已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为_解析：设正六棱柱的高为h，则可得()232，解得h2.答案：24已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为_ cm3.解析：设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x672，所以x2 cm，于是其体积V226636 cm3.答案：365(xx南通调研)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为_cm2.解析：作出轴截面图，其中圆的内接矩形为正四棱柱的对角面，易求棱柱的侧棱长为，所以S表4121224(cm2)答案：246已知正三棱锥SABC，D，E分别是底面边AB，AC的中点，则四棱锥SBCED与三棱锥SABC的体积之比为_解析：设正三棱锥SABC底面ABC面积为4S.由2，所以，SADES，S四边形BCDE3S，因两个棱锥的高相同，所以VSBCEDVSABC34.答案：347已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_解析：如图，连结AC，BD交于H，连结OH.在矩形ABCD中，由AB6，BC2可得BD4，所以BH2，在RtOBH中，由OB4，所以OH2，所以四棱锥OABCD的体积V6228.答案：88(xx盐城调研)在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，若ABACAD2，则平面BCD被球所截得图形的面积为_解析：过点A向平面BCD作垂线，垂足为M，则M是BCD的外心，而外接球球心O位于直线AM上，连结BM，设BCD所在截面圆半径为r，OAOB2AB，BAO60，在RtABM中，r2sin 60，所求面积Sr23.答案：39一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切将球取出后，容器内的水深是多少？解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PCh，球取出后，水面高PHx.根据题设条件可得ACr，PC3r，则以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥AC2PC(r)23r3r3.V球r3.球取出后，水面下降到EF，水的体积为V水EH2PH(PHtan 30)2PHx3.又V水V圆锥V球，则x33r3r3，解得xr.故球取出后，容器内水深为r.10.(xx安徽六校联考)如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，求该多面体的体积解：法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，三棱锥高为，直三棱柱柱高为1，AG ，取AD中点M，则MG，SAGD1，V12.法二：如图所示，取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥PABCD为棱长为1的正四棱锥V122.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为_解析：由图示可得BDAC，BC，DBC与ABC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A，B，C，D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为，所以该外接球的表面积S423.答案：32(xx南京二模 )一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器当x6 cm时，该容器的容积为_cm3.解析：如图所示，由题意可知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧面的斜高PM5 cm，高PO4 cm，所以所求容积为V62448(cm3)答案：483.如图，在三棱锥DABC中，已知BCAD，BC2，AD6，ABBDACCD10，求三棱锥DABC的体积的最大值解：由题意知，线段ABBD与线段ACCD的长度是定值，因为棱AD与棱BC相互垂直设d为AD到BC的距离则VDABCADBCd2d，当d最大时，VDABC体积最大，ABBDACCD10，当ABBDACCD5时，d有最大值.此时V2.第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线(3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面2空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(4)定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况小题体验1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有_个解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面答案：42(教材习题改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.答案：3(教材习题改编)给出命题若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行其中不正确的命题的个数为_答案：21异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”3平面几何中的一些结论在空间中有可能不正确小题纠偏1已知a，b是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：若，a，则a；若a，b与所成的角相等，则ab；若，则；若a，a，则.其中正确命题的序号是_解析：由，a，结合面面平行的定义可得a，所以正确；由a，b与所成角相等，可得a与b平行或相交或异面，所以不正确；由，得与平行或相交，所以不正确；由垂直于同一条直线的两个平面平行，知正确答案：2在下列四个命题中，正确命题的个数为_a，b是异面直线，则存在分别过a，b的平面，使；a，b是异面直线，则存在分别过a，b的平面，使；a，b是异面直线，若直线c，d分别与a，b都相交，则c，d也是异面直线；a，b是异面直线，则存在平面过a且与b垂直解析：因为a，b是异面直线，所以可以作出两个平面，分别过a，b，并使，所以正确；因为a，b是异面直线，所以存在两个互相垂直的平面分别过a，b，所以正确；因为a，b是异面直线，若直线c，d与a，b分别都相交，则c，d相交或异面，所以不正确；因为a，b是异面直线，若a，b垂直，则存在平面过a且与b垂直，若a，b不垂直，则不存在平面过a且与b垂直不正确答案：2题组练透1(xx天一中学检测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C平面ABC1D1E，则B，E，D1三点的位置关系是_解析：连结AC，A1C1，AC1，则E为A1C与AC1的交点，四边形ACC1A1为平行四边形，故E为AC1的中点又四边形ABC1D1为平行四边形，所以B，E，D1三点共线答案：共线2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明：(1)如图，连结EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFA1B.又A1BCD1，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE，D1F，DA三线共点谨记通法1点线共面问题证明的2种方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面，再证其余点、线确定平面，最后证明平面，重合2证明多线共点问题的2个步骤(1)先证其中两条直线交于一点；(2)再证交点在第三条直线上证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理2证明如“题组练透”第2题中第(2)问典例引领1已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是_解析：依据题意，b，c分别为a在，内的射影，可判断b，c相交、平行或异面均可答案：相交、平行或异面2(xx苏州中学月考)如图所示，在三棱锥ABCD中，E，F是棱AD上互异的两点，G，H是棱BC上互异的两点，给出下列说法：AB与CD互为异面直线；FH分别与DC，DB互为异面直线；EG与FH互为异面直线；EG与AB互为异面直线其中说法正确的有_(填序号)解析：因为直线DC平面BCD，直线AB平面BCD，点B直线DC，所以由异面直线的判定定理，可知正确；同理，正确答案：由题悟法 即时应用1已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为_解析：法一：在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，错，正确答案：12在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析：图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连结MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面所以在图中，GH与MN异面答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(xx扬州中学检测)下列命题中正确的是_(填序号)空间四点中有三点共线，则此四点必共面；三个平面两两相交的三条交线必共点；空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平面和平面可能只有一个交点解析：由公理及推论，可得正确，错误答案：2(xx南京外国语学校)已知，为两个不重合的平面，A，B，M，N为相异四点，a为直线，则下列推理错误的是_(填序号)Aa，A，Ba，Ba；M，M，N，NMN；A，AA.解析：由公理及推论，可得推理正确因为A，A，所以A，由公理知为经过点A的一条直线而不是一个点A，所以推理错误答案：3.(xx海门中学月考)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E，F分别是棱A1A，C1C的中点若BFC60，则ED1D_.解析：取BB1的中点G，连结C1G，EG，因为E是棱A1A的中点，G是棱B1B的中点，所以A1B1綊EG.又A1B1綊C1D1，所以EG綊C1D1，所以四边形EGC1D1是平行四边形，所以D1E綊C1G.又BG綊C1F，所以四边形BGC1F是平行四边形，所以C1GFB，所以D1EFB.又D1DFC，ED1D与BFC的两边方向相同，所以由等角定理，可得ED1DBFC60.答案：604.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有_条解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条答案：55(xx江苏四星级高中联考)在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为_解析：如图，设ACBDO，连结VO，因为四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO平面ABCD，故BDVO.又四边形ABCD是正方形，所以BDAC，又VOACO，所以BD平面VAC，所以BDVA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连结四边中点的四边形一定是_(填序号)矩形；菱形；正方形；直角梯形解析：顺次连结空间四边形四边中点的四边形是平行四边形，又因为空间四边形的两条对角线互相垂直，所以平行四边形的两邻边互相垂直，故顺次连结四边中点的四边形一定是矩形答案：2(xx金陵中学检测)若a，b是空间的两条直线且a，b，l，则a与b的位置关系为_解析：如图，b1，b2，a1，a2，且a2与b2相交，b1a1，a2与b1异面，结合图形(如图所示)，可知a与b的位置关系是平行或相交或异面答案：平行或相交或异面3(xx金陵中学检测)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析：若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件答案：充分不必要4给出下列四个说法，其中正确的是_(填序号)空间中两条不相交的直线一定平行；梯形可以确定一个平面；若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交；空间四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.解析：在空间中不相交的两条直线可能平行，也可能异面，错误；正确；错误，因为它也可能与另一条直线异面；由公理4，知正确答案：5已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c.若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac；若ab，ac，则必有.其中正确的命题的个数是_解析：中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交若c与a，b都不相交，则ca，cb，则ab，与a，b异面矛盾，故正确；中平面平面时，若bc，则b平面，此时不论a，c是否垂直，均有ab，故错误；中当ab时，则a平面，由线面平行的性质定理可得ac，故正确；中若bc，则ab，ac时，a与平面不一定垂直，此时平面与平面也不一定垂直，故错误，所以正确命题的个数是2.答案：26如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对答案：37设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)解析：由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故错答案：8.(xx淮安模拟)如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2的夹角为_解析：将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合故l1与l2相交，连结AD，则ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为.答案：9.(xx启东中学检测)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.(1)求证：D，B，F，E四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置解：(1)证明：法一：如图，连结DE，BF.由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故直线CC1与BF必相交，设交点为O，则OC1C1C.同理，直线DE与CC1也相交，设交点为O，则OC1C1C，