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3.1.2 复数的几何意义,第三章 3.1 数系的扩充和复数的概念,1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模等概念. 3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 复平面的概念和复数的几何意义,1.复平面的概念 根据复数相等的定义，任何一个复数zabi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定.因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi可用点Z(a，b)表示.,答案,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.,复平面,实轴,虚轴,2.复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数zabi 复平面内的点 ，这是复数的一种几何意义.,Z(a，b),3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.,因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数zabi 平面向量 ，这是复数的另一种几何意义.,思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？,答案,答案 不是.,(2)象限内的点与复数有何对应关系？,答案 第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正； 第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正； 第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负； 第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.,知识点二 复数的模,答案,2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则,思考 复数的模的几何意义是什么？,答案 复数z在复平面内对应的点为Z，复数z0在复平面内对应的点为Z0，r表示一个大于0的常数，则： 满足条件|z|r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的内部，|z|r表示圆的外部； 满足条件|zz0|r的点Z的轨迹为以Z0为圆心，r为半径的圆，|zz0|r表示圆的内部，|zz0|r表示圆的外部.,返回,答案,题型探究 重点突破,题型一 复数与复平面内的点,解析答案,反思与感悟,例1 在复平面内，若复数z(m22m8)(m23m10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线yx上，分别求实数m的取值范围.,反思与感悟,解 复数z(m22m8)(m23m10)i的实部为m22m8，虚部为m23m10. (1)由题意得m22m80. 解得m2或m4.,反思与感悟,复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征.,跟踪训练1 实数m取什么值时，复数z(m25m6)(m22m15)i. (1)对应的点在x轴上方；,解析答案,解 由m22m150， 得m5， 所以当m5时，复数z对应的点在x轴上方.,(2)对应的点在直线xy40上.,题型二 复数的模的几何意义,解析答案,例2 设zC，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形. (1)|z|2；,解 方法一 |z|2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2， 这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆. 方法二 设zabi，由|z|2， 得a2b24.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.,(2)1|z|2.,不等式|z|2的解集是圆|z|2及该圆内部所有点的集合. 不等式|z|1的解集是圆|z|1及该圆外部所有点的集合. 这两个集合的交集，就是满足条件1|z|2的点的集合. 如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.,解析答案,反思与感悟,解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点： 一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形； 二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.,反思与感悟,解析答案,解析 设zxyi(x，yR)， 则zixyiix(y1)i，,2,题型三 复数的模及其应用,解析答案,反思与感悟,例3 已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围.,解 方法一 z3ai(aR)，,利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，也可利用平面几何知识解答本题.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 已知复数|z|1，求复数34iz的模的最大值及最小值.,解析答案,复数与函数的综合应用,对于求复数的题目，一般的解题思路是： 先设出复数的代数形式，如zabi(a，bR)，利用题目给出的条件，结合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a，b，最后将复数的代数形式写出来. 例4 已知f(z)|2z|z，且f(z)35i，求复数z.,返回,方法技巧,分析 题目中出现了f(z)与f(z)的关系式，可由f(z)得到f(z)的另一种关系式. 要求复数z，只需设zabi(a，bR)，求出a，b即可. 利用复数相等的充要条件即可列方程组求解.,解析答案,解 设复数zabi(a，bR). f(z)|2z|z， f(z)|2z|z. 又f(z)35i， |2z|z35i， |2(abi)|abi35i.,复数z105i.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.在复平面内，复数zi2i2对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,解析 zi2i22i， 实部小于0，虚部大于0， 故复数z对应的点位于第二象限.,B,解析答案,1,2,3,4,5,2.在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( ) A.48i B.82i C.24i D.4i,C,解析答案,解析 由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(2,3). 由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)， 故点C对应的复数为24i.,1,2,3,4,5,3.复数z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，那么实数a的取值范围是 .,解析答案,(1,1),解得1a1.,1,2,3,4,5,解析答案,9,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知z12(1i)，且|z|1，求|zz1|的最大值.,课堂小结,返回,1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应. 2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.,
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