资源描述
第三章,推理与证明,1,知识网络 整体构建,2,要点归纳 主干梳理,3,题型探究 重点突破,章末复习提升,1.归纳和类比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整体的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论不一定为真,有待进一步证明.,2.演绎推理与合情推理不同,是由一般到特殊的推理,是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式,另一方面,合情推理与演绎推理又是相辅相成的,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性.,3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法,在解决数学问题时,常把它们结合起来使用,间接证法的一种方法是反证法,反证法是从结论反面成立出发,推出矛盾的证明方法.,题型一 归纳推理和类比推理,归纳推理和类比推理是常用的合情推理,两种推理的结论“合情”但不一定“合理”,其正确性都有待严格证明.尽管如此,合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用. 运用合情推理时,要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时,可以先从观察入手,发现问题的特点,形成解决问题的初步思路,然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想,最后用逻辑推理方法进行验证.,例1 观察下列各式：ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,则a10b10等于( ) A.28 B.76 C.123 D.199 解析 记anbnf(n), 则f(3)f(1)f(2)134； f(4)f(2)f(3)347； f(5)f(3)f(4)11.,通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN,n3), 则f(6)f(4)f(5)18； f(7)f(5)f(6)29； f(8)f(6)f(7)47； f(9)f(7)f(8)76； f(10)f(8)f(9)123. 所以a10b10123. 答案 C,跟踪训练1 自然数按下表的规律排列,则上起第2 014行,左起第2 015列的数为( ) A.2 0142 B.2 0152 C.2 0132 014 D.2 0142 015,解析 经观察可得这个自然数表的排列特点： 第一列的每个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在行数的平方,即第n行的第1个数为n2； 第一行第n个数为(n1)21；,第n行从第1个数至第n个数依次递减1； 第n列从第1个数至第n个数依次递增1. 故上起第2 014行,左起第2 015列的数,应是第2 015列的第 2 014个数,即为(2 0151)212 0132 0142 015. 答案 D,题型二 直接证明,高考题对直接证明的考查,各种题型均有体现,尤其是解答题,一直是考查证明方法的热点与重点. 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题常用的思维方式.如果从解题的切入点的角度细分,直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等,应用综合法证明问题时,必须首先想到从哪里开始起步,分析法就可以帮助我们克服这种困难,在实际证明问题时,应当把分析法和综合法结合起来使用.,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.,跟踪训练2 如图,在四面体BACD中,CBCD,ADBD,且E,F分别是AB,BD的中点,求证： (1)直线EF平面ACD； 证明 要证直线EF平面ACD, 只需证EFAD且EF 平面ACD. 因为E,F分别是AB,BD的中点, 所以EF是ABD的中位线,所以EFAD, 所以直线EF平面ACD.,(2)平面EFC平面BCD. 证明 要证平面EFC平面BCD, 只需证BD平面EFC,又因为CBCD,F为BD的中点, 所以CFBD.所以平面EFC平面BCD.,题型三 反证法,如果一个命题的结论难以直接证明时,可以考虑反证法.通过反设结论,经过逻辑推理,得出矛盾,从而肯定原结论成立. 反证法是高中数学的一种重要的证明方法,在不等式和立体几何的证明中经常用到,在高考题中也经常体现,它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题.,例3 如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB、DF的中点. (1)若平面ABCD平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；,解 如图所示,取CD的中点G,连接MG,NG,设正方形ABCD,DCEF的边长为2,平面ABCD平面DCEF, MG平面DCEF, MNG是MN与平面DCEF所成的角.,(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线. 证明 假设直线ME与BN共面,则AB平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN, 两正方形不共面,AB 平面DCEF. 又ABCD,所以AB平面DCEF,而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线, ABEN.又ABCDEF, ENEF,这与ENEFE矛盾,故假设不成立. ME与BN不共面,即它们是异面直线.,证明 假设a,b,c都不大于0,即a0,b0,c0,30,且(x1)2(y1)2(z1)20,abc0,这与abc0矛盾,因此假设不成立,a,b,c中至少有一个大于0.,课堂小结,1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理 (1)归纳推理的基本模式：a,b,cM且a,b,c具有某属性,结论任意dM,d也具有某属性. (2)类比推理的基本模式：A具有属性a,b,c,d；B具有属性a,b,c；结论：B具有属性d.(a,b,c,d与a,b, c,d相似或相同).,2.使用反证法证明问题时,常见的“结论词”与“反设词”列表如下：,
展开阅读全文