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第三章 4 曲线与方程,4.1 曲线与方程(一),1.了解曲线和方程的概念. 2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点 曲线的方程、方程的曲线 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系： (1) ； (2) . 那么，这个方程叫做 ；这条曲线叫做 .,答案,方程的曲线,曲线上点的坐标都是这个方程的解 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,曲线的方程,返回,答案,思考 (1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明.,(2)如果曲线C的方程是f(x，y)0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？ 答案 若点P在曲线C上，则f(x0，y0)0；若f(x0，y0)0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)0.,题型探究 重点突破,题型一 曲线与方程的概念 例1 (1)已知坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上，那么( ) A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)0 B.凡坐标不适合f(x，y)0的点都不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)0 D.不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)0，有些不适合f(x，y)0,C,答案,解析答案,反思与感悟,(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系： 与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系； 第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程xy0之间的关系. 解 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5，但以方程xy5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5. 第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足xy0；反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0.,反思与感悟,判断方程是不是曲线的方程的两个关键点： 一是检验点的坐标是否适合方程； 二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上.,跟踪训练1 判断下列命题是否正确.,解析答案,因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.,(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|2. 解 不正确.直线l上的点的坐标都是方程|x|2的解. 然而，坐标满足|x|2的点不一定在直线l上，因此|x|2不是直线l的方程，直线l的方程为x2.,解析答案,解析答案,反思与感悟,题型二 由方程判断其表示的曲线,即2x3y50(x3)或者x4， 故方程表示的曲线为一条射线2x3y50(x3)和一条直线x4.,反思与感悟,判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.,解析答案,跟踪训练2 “(2x3y5)log2(x2y)30”，其表示什么曲线？ 解 因为(2x3y5)log2(x2y)30，,即2x3y50(x10)或者x2y8， 故方程表示的曲线为一条射线2x3y50(x10)(去除端点)和一条直线x2y8.,题型三 曲线与方程关系的应用 例3 若曲线y2xy2xk0过点(a，a) (aR)，求k的取值范围. 解 曲线y2xy2xk0过点(a，a)， a2a22ak0.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上. (2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.,解析答案,跟踪训练3 (1)已知方程ya|x|和yxa(a0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( ) A.a1 B.01 D.a,A,解析 a0，方程ya|x|和yxa(a0)的图象大致如图，要使方程ya|x|和yxa(a0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求ya|x|在y轴右侧的斜率大于yxa的斜率，a1.,解析答案,返回,消去x，得到2y22byb210(y0). l与C有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,B,解析答案,2.方程(x24)2(y24)20表示的图形是( ) A.两个点 B.四个点 C.两条直线 D.四条直线,B,1,2,3,4,5,3.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( ) 解析 对于A，点(0，1)满足方程，但不在曲线上，排除A； 对于B，点(1，1)满足方程，但不在曲线上，排除B； 对于C，曲线上第三象限的点，由于x0，y0，不满足方程，排除C.,解析答案,1,2,3,4,5,D,4.已知02，点P(cos ，sin )在曲线(x2)2y23上，则的值为( ),解析答案,C,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,5.过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为_. 解析 设M(x，y)，如图， 由直角三角形的性质可知 |PM|MO|， 即(x1)2(y1)2x2y2， xy10.,xy10,课堂小结,1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上. 2.点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程. 3.方程表示的曲线的判断步骤：,4.判断方程表示曲线的注意事项： (1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线. (2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想.,返回,
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