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第三章 2 抛物线,2.1 抛物线及其标准方程,1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线方程.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的 的点的集合叫作 .点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 . 知识点二 抛物线标准方程的几种形式,答案,y22px(p0),准线,距离相等,抛物线,焦点,答案,y22px(p0),x22py(p0),x22py(p0),返回,思考 (1)抛物线的标准方程y22px(p0)中p的几何意义是什么？ 答案 焦点到准线的距离. (2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？ 答案 不一定.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线.,答案,题型探究 重点突破,题型一 求抛物线的标准方程 例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为(2,0)；,解析答案,抛物线的标准方程为y28x. (2)准线为y1；,抛物线的标准方程为x24y.,(3)过点A(2,3)； 解 由题意，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)， 将点A(2,3)的坐标代入，得32m2或22n3，,解析答案,反思与感悟,所求抛物线的标准方程为y25x或y25x或x25y或x25y.,反思与感悟,求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0).,跟踪训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1) 过点(3，4)； 解 方法一 点(3，4)在第四象限， 设抛物线的标准方程为y22px (p0)或x22p1y (p10). 把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y，,方法二 点(3，4)在第四象限， 抛物线的方程可设为y2ax (a0)或x2by (b0).,解析答案,(2) 焦点在直线x3y150上. 解 令x0得y5；令y0得x15. 抛物线的焦点为(0,5)或(15,0). 所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.,解析答案,解析答案,反思与感悟,题型二 抛物线定义的应用 例2 如图，已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此时P点坐标.,解析答案,反思与感悟,解 如图，作PQl于Q，由定义知，,抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|d的最小值的问题.,反思与感悟,点P坐标为(2,2).,反思与感悟,抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.,解析答案,跟踪训练2 已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( ),解析 如图，由抛物线定义知|PA|PQ|PA|PF|， 则所求距离之和的最小值转化为求|PA|PF|的最小值， 则当A、P、F三点共线时，|PA|PF|取得最小值.,A,题型三 抛物线的实际应用 例3 如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.,设抛物线方程为x22py(p0)，,解得a12.21，a取整数， a的最小整数值为13.,反思与感悟,以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.,解析答案,跟踪训练3 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；,所以该抛物线的方程为x25y.,解析答案,返回,(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)? 解 设车辆高h米，则|DB|h0.5， 故D(3.5，h6.5)， 代入方程x25y，解得h4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.,当堂检测,1,2,3,4,5,C,解析答案,解析答案,2.过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A.8 B.16 C.32 D.61 解析 由y28x得焦点坐标为(2,0)， 由此直线方程为yx2，,B,1,2,3,4,5,设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程知x1x212， 弦长|AB|x1x2p12416.,解析答案,1,2,3,4,5,A.y28x B.y24x C.y22x D.y28x,D,所以抛物线的方程为y28x或y28x.,解析答案,4.已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ),1,2,3,4,5,解析 易知直线l2：x1恰为抛物线y24x的准线， 如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为PF的长度， 其中F(1,0)为抛物线y24x的焦点.,A,解析答案,4,1,2,3,4,5,课堂小结,1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上. 2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx (m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my (m0).,返回,
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