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3.1.1 数系的扩充和复数的概念,第三章 3.1 数系的扩充和复数的概念,1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i. 2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 复数的引入,答案,在实数范围内，方程x210无解.为了解决x210这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x210的根，即使ii1. 把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作abi(a，bR)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是abi(a，bR)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是Cabi|a，bR，称i为 .,虚数单位,答案,思考 (1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x425.,(2)虚数单位i有哪些性质？,答案,答案 虚数单位i有如下几个性质： i的平方等于1，即i21； 实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立； i的乘方：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*).,知识点二 复数的概念、分类,答案,1.复数的有关概念 (1)复数的概念：形如abi的数叫做复数，其中a,bR,i叫做 .a叫做复数的 ，b叫做复数的 . (2)复数的表示方法：复数通常用字母 表示，即 . (3)复数集定义： 所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示. 2.复数的分类及包含关系,虚数单位,实部,虚部,z,zabi,全体复数,(2)集合表示：,答案,思考 (1)两个复数一定能比较大小吗？,答案 不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.,(2)复数abi的实部是a，虚部是b吗？,答案 不一定，对于复数zabi(a，bR)，实部才是a，虚部才是b.,知识点三 复数相等,复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么abicdi .即它们的实部与虚部分别对应相等.,ac且bd,思考 (1)若复数zabi(a，bR).z0，则ab的值为多少？,答案 0；,(2)若复数z1，z2为z13ai(aR)，z2bi(bR)，且z1z2，则ab的值为多少？,答案 4.,返回,答案,题型探究 重点突破,题型一 复数的概念,解析答案,例1 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数. 23i；,解 实部为2，虚部为3，是虚数；,解析答案,反思与感悟,；,解 实部为，虚部为0，是实数；,0.,解 实部为0，虚部为0，是实数.,反思与感悟,复数abi(a，bR)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.,跟踪训练1 下列命题中，正确命题的个数是( ) 若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1； 若a，bR且ab，则aibi； 若x2y20，则xy0. A.0 B.1 C.2 D.3,解析答案,A,解析 由于x，yC，所以xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件， 所以是假命题.由于两个虚数不能比较大小， 所以是假命题.当x1，yi时，x2y20成立， 所以是假命题.故选A.,题型二 复数的分类,解析答案,解 因为z是虚数，故其虚部log2(5m)0，,解得1m5，且m4.,(2)若z是纯虚数，求m的值.,解 因为z是纯虚数，故其实部 (m1)0，虚部log2(5m)0，,解析答案,解得m2.,反思与感悟,将复数化成代数形式zabi(a，bR)，根据复数的分类：当b0时，z为实数；当b0时，z为虚数；特别地，当b0，a0时，z为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 实数k为何值时，复数z(1i)k2(35i)k2(23i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.,解 由z(1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i. (1)当k25k60时，zR，即k6或k1. (2)当k25k60时，z是虚数，即k6且k1.,题型三 两个复数相等,解析答案,例3 (1)已知x2y22xyi2i，求实数x，y的值.,解 x2y22xyi2i，,解析答案,反思与感悟,两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.,反思与感悟,解析答案,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.若集合Ai，i2，i3，i4(i是虚数单位),B1，1,则AB等于( ) A.1 B.1 C.1，1 D. ,解析 因为i21，i3i，i41， 所以Ai，1，i,1，又B1，1， 故AB1，1.,C,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( ),C,解析答案,1,2,3,4,5,答案,C,1,2,3,4,5,解析答案,4.已知M2，m22m(m2m2)i，N1,2,4i，若MNN，则实数m的值为 .,1或2,解析 MNN， MN， m22m(m2m2)i1或m22m(m2m2)i4i.,解得m1或m2. 故实数m的值是1或2.,1,2,3,4,5,解析答案,5.设i为虚数单位，若关于x的方程x2(2i)x1mi0(mR)有一实根为n，则m .,1,解析 关于x的方程x2(2i)x1mi0(mR)有一实根为n， 可得n2(2i)n1mi0.,课堂小结,返回,1.复数的代数形式zabi(a，bR)是解决问题的基础，明确其实部、虚部. 2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.,
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