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第三章 4 曲线与方程,4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点,1.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单应用. 2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到 的距离与它到 的距离之比为定值e. 当 时，该圆锥曲线为椭圆； 当 时，该圆锥曲线为抛物线； 当 时，该圆锥曲线为双曲线. 知识点二 曲线的交点,答案,e1,f1(x0，y0)0 f2(x0，y0)0,一个定点,一条定直线,0e1,e1,答案,知识点三 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系可分为： 、 、 . 对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是_； 对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不_.这三种位置关系的判定条件可归纳为： (1)0 ；(2)0 ；(3)0 .,相离,相交,相切,相离,相切,相切,相交,相切,返回,答案,思考 1.圆锥曲线具有什么样的共同特征？它们的区别何在？ 答案 圆锥曲线均可定义为平面上到定点距离和到定直线距离之比为常数的点的轨迹；它们的区别在于这个比值的范围不同. 2.直线与圆锥曲线有一个交点时，一定是直线与圆锥曲线相切吗？ 答案 直线与圆锥曲线有一个交点时不一定相切，也可能是相交.如直线与抛物线的对称轴平行，则直线与该抛物线交点是只有一个交点.,题型探究 重点突破,题型一 圆锥曲线的共同特征及应用,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,此类问题采用求曲线方程的一般方法，通过题意列出关于点M(x，y)的等式，化简得出曲线方程.通过运算的结果不难发现，椭圆是到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点所成的曲线，并且这个常数的范围为(0,1).,解析答案,解析答案,反思与感悟,题型二 直线与圆锥曲线的公共点问题 例2 已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，讨论直线与双曲线公共点个数.,解析答案,反思与感悟,(1k2)x22k2xk240.,(2)当1k20，即k1，此时有4(43k2)， 若43k20(k21)，,反思与感悟,反思与感悟,本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1k2是否为0，又要讨论的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：从树枝图上一看可知，共分四种情况讨论，本文要提醒读者：“树枝图”是确定讨论思路的一手绝招！ (1)要处理好直线与圆锥曲线的位置关系与的正负和交点个数的关系.0是直线与圆锥曲线相切的充要条件；只有一个交点是直线与圆锥曲线相切的必要不充分条件. (2)直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题实质上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数的问题.,解析答案,求l的斜率k的取值范围. (1)相切；,解 设直线l的方程为ykx2.,整理得(14k2)x22(18k)x130. 的判别式4(18k)2413(14k2).,解析答案,(2)相交；,(3)相离.,解析答案,题型三 弦长、弦中点问题,(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；,解 设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x0，y0)，则有x1x22x0，y1y22y0.,x4y0. 故所求的轨迹方程为x4y0(在已知椭圆的内部).,解析答案,(2)过N(1,2)的直线l与椭圆相交，求l被椭圆截得的弦的中点轨迹方程； 解 不妨设l交椭圆于A、B，弦中点为M(x，y).,整理得x22y2x4y0，此式对l的方程为x1时也成立. 所求中点轨迹方程是x22y2x4y0(在已知椭圆的内部).,即2x4y30.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟 将圆锥曲线上的两点A、B的坐标代入圆锥曲线的方程，然后将两式作差并进行变形，可得到弦AB的斜率与弦中点的坐标之间的关系式.(这种方法一般称之为点差法)此关系式可用于解决如下问题： (1)以定点为中点的弦的方程；(2)平行弦中点的轨迹； (3)过定点的弦的中点的轨迹；(4)对称问题.,解析答案,(1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；,解析答案,a21，b22.,故中点P的轨迹方程为2x2y24xy0.,得2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，,解析答案,(2)过点B(1,1)，能否作直线l，使l与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且B是线段Q1Q2的中点？请说明理由. 解 假设存在直线l，同(1)可得l的斜率为2，l的方程为y2x1.,满足条件的直线l不存在.,题型四 对称问题 例4 已知椭圆3x24y212，试确定实数m的取值范围，使得对于直线l：y4xm，椭圆上总有两点A，B关于直线l对称.,解析答案,反思与感悟,消去y，得13x28bx16b2480，,解析答案,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0. x1x22x，y1y22y，x1x2，,反思与感悟,反思与感悟,处理圆锥曲线上两点关于某直线对称题型的两种方法，方法一称为点差法，主要用于处理弦的斜率与中点问题，而方法二则将对称转化为用判别式0求解，利用已知条件，建立一个等式与一个不等式，两种解法都是紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题.,解析答案,返回,解析答案,解 当k0时，显然不成立.当k0时，由lAB，,代入3x2y23中， 得(3k21)x22kbx(b23)k20.显然3k210， (2kb)24(3k21)(b23)k20，即k2b23k210.,点M(x0，y0)在直线l上，,返回,把代入得k2b2k2b0，解得b0或b1.,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,有5x28mx4m240， 64m280(m21)0，得m25，,D,解析答案,2.设A、B是抛物线x24y上两点，O为原点，若|OA|OB|，且AOB的面积为16，则AOB等于( ) A.30 B.45 C.60 D.90,D,1,2,3,4,5,AOB为等腰直角三角形，AOB90.,解析 圆M的方程可化为(xm)2y23m2， 则由题意得m234，即m21(m0)， m1，则圆心M的坐标为(1,0). 由题意知直线l的方程为xc， 又直线l与圆M相切，c1，a231，a2.,解析答案,1,2,3,4,5,C,4.已知直线l1：4x3y110和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_. 解析 因为x1恰为抛物线y24x的准线，所以可画图观察. 如图，连接PF，d2|PF|.,解析答案,3,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y22x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为_.,xy10,课堂小结,对直线与圆锥曲线位置关系的进一步理解 (1)直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度看有三种：相离、相交和相切.相离时，直线与圆锥曲线无公共点；相切时，直线与圆锥曲线有一个公共点；相交时，直线与椭圆有两个公共点，但直线与双曲线、抛物线的公共点个数可能为一个(直线与双曲线的渐近线平行时，直线与抛物线的对称轴平行时)或两个. (2)直线与圆锥曲线的位置关系，从代数角度看来(几何问题代数化)是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为x或y的方程，二次项系数非零，判别式为零时必相切，若二次项系数为零，有一组解时必相交(代数结果几何化).,(3)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2bxc0. 当a0时，若0，则直线l与曲线C相交；若0，则直线l与曲线C相切；若0，直线l与曲线C相离. 当a0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点.此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴. 当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交.,返回,
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