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第三章 4 曲线与方程,4.1 曲线与方程(二),1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤. 2.掌握求轨迹方程的几种常用方法.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 坐标法和解析几何 借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法就叫坐标法.用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何. 知识点二 解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2)通过曲线的方程，研究曲线的性质.,知识点三 求曲线的方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用 表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P ； (3)用 表示条件p(M)，列出方程 ； (4)化方程f(x，y)0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点 .,答案,都在曲线上,有序实数对(x，y),M|p(M),坐标,f(x，y)0,答案,返回,思考 (1)求曲线的方程的步骤是否可以省略？ 答案 可以省略.如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明.另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程. (2)求曲线的方程和求轨迹一样吗？ 答案 不一样.若是求轨迹则要先求出方程，再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚.,题型探究 重点突破,题型一 直接法求曲线方程,解析答案,解 如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(a,0)，B(a,0).,化简得：x22y2a2(xa). 点M的轨迹方程为x22y2a2(xa).,反思与感悟,直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M|p(M)直接翻译成x，y的形式F(x，y)0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(1,0)，点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程. 解 如图，设C(x，y)，,(x1)(x1)y20.化简得x2y21. A、B、C三点要构成三角形， A、B、C三点不共线，y0. 点C的轨迹方程为x2y21(y0).,解析答案,反思与感悟,题型二 定义法求曲线方程 例2 已知圆C：(x1)2y21，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 解 如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CPOQ，,OPC90，,反思与感悟,如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.,解析答案,跟踪训练2 已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程.,所以M的轨迹是以原点O为圆心，以3为半径的圆， 故点M的轨迹方程为x2y29.,解析答案,反思与感悟,题型三 代入法求曲线方程 例3 已知动点M在曲线x2y21上移动，点M和定点B(3，0)连线的中点为P，求点P的轨迹方程. 解 设P(x，y)，M(x0，y0)，,又M在曲线x2y21上， (2x3)24y21. P点的轨迹方程为(2x3)24y21.,反思与感悟,代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，y)与相关动点Q(x0，y0)坐标间的关系式，且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲线方程即可求得动点P的轨迹方程.,解析答案,跟踪训练3 已知ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0，0)，B(6,0)，顶点C在曲线yx23上运动，求ABC重心的轨迹方程.,因为顶点C(x，y)在曲线yx23上， 所以3y(3x6)23， 整理，得y3(x2)21. 故点M的轨迹方程为y3(x2)21.,求曲线方程忽略限制条件致错,易错点,解析答案,返回,例4 直线l：yk(x5)(k0)与圆O：x2y216相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.,易错警示,解析答案,易错警示,错解 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)， 再由OMMP，得|OP|2|OM|2|MP|2， x2y2(x5)2y225，,易错警示,正解 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)， 再由OMMP，得|OP|2|OM|2|MP|2， x2y2(x5)2y225，,点M应在圆内，所求的轨迹为圆内的部分.,返回,易错警示,求曲线方程时，要注意准确确定范围，能挖掘出题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免考虑不全面而致错.,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,A.一条直线 B.一条直线去掉一点 C.一个点 D.两个点 解析 注意当点C与A、B共线时，不符合题意，应去掉.,B,1,2,3,4,5,解析答案,2.到点(1,0)与直线x3的距离相等的点的轨迹方程为( ) A.x24y4 B.y24x4 C.x28y8 D.y28x8,D,变形为：y28x8，故选D.,1,2,3,4,5,3.下列各点中，在曲线x2xy2y10上的点是( ) A.(2，2) B.(4，3) C.(3，10) D.(2，5) 解析 依次把四个选项代入x2xy2y1，当x3，y10时，x2xy2y10.故选C.,解析答案,C,1,2,3,4,5,解析答案,4.在第四象限内，到原点的距离为2的点M的轨迹方程是( ) A.x2y24 B.x2y24(x0),D,解析 设M(x，y)，由|MO|2得，x2y24，,1,2,3,4,5,解析答案,5.设A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则动点P的轨迹方程是_. 解析 圆(x1)2y21的圆心为B(1,0)，半径r1， 则|PB|2|PA|2r2. |PB|22. 动点P的轨迹方程为：(x1)2y22.,(x1)2y22,课堂小结,返回,1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同. 2.一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x，y)等. 3.方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)0化成x，y的整式.如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点. 4.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状.,
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