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第三章 3 双曲线,3.1 双曲线及其标准方程,1.掌握双曲线的定义. 2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程. 3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 双曲线的定义 把平面内到两个定点F1，F2的距离的 等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作 .这两个定点叫做双曲线的 ，两个焦点间的距离叫做双曲线的 .,答案,焦距,差的绝对值,双曲线,焦点,知识点二 双曲线的标准方程,答案,a2b2,(0，c),(0，c),思考 (1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 答案 当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在. (2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？ 答案 a，b的值及焦点所在的位置.,答案,返回,知识点三 双曲线与椭圆的比较 双曲线、椭圆的标准方程及它们之间的区别与联系：,答案,|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|),|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|),a2b2c2,a2b2c2,题型探究 重点突破,题型一 求双曲线的标准方程 例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程.,解析答案,解析答案,P、Q两点在双曲线上，,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，从而简化求解过程.,跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； 解 由双曲线的定义知，2a8，所以a4， 又知焦点在x轴上，且c5， 所以b2c2a225169，,解析答案,解 因为焦点在x轴上，,解析答案,解得a28，b24，,解析答案,题型二 双曲线定义的应用,(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；,由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22. 故点M到另一个焦点的距离为10或22.,解析答案,反思与感悟,(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积.,解 将|PF2|PF1|2a6两边平方得 |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36， |PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100. 在F1PF2中，由余弦定理得,且F1PF2(0，180)， F1PF290，,反思与感悟,F1PF2,反思与感悟,(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|PF2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca). (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.,解析答案,由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|PF2|6， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|， 所以|PF1|PF2|64，,题型三 与双曲线有关的轨迹问题,解析答案,反思与感悟,2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，,反思与感悟,由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).,反思与感悟,(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：列出等量关系，化简得到方程；寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程. (2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：双曲线的焦点所在的坐标轴；检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.,跟踪训练3 如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.,解析答案,返回,解 圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11； 圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24. 设动圆M的半径为R， 则有|MF1|R1，|MF2|R4， |MF2|MF1|310|F1F2|.,返回,1.已知F1(3,3)，F2(3,3)，动点P满足|PF1|PF2|4，则P点的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线 解析 因为|PF1|PF2|4，且4|F1F2|， 由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.,当堂检测,1,2,3,4,5,B,解析答案,解析答案,A.5 B.3 C.5 D.9 解析 由题意知，34n2n216， 2n218，n29.n3.,B,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,D,解析 由标准方程得a210，b22，,解析答案,4.已知双曲线中a5，c7，则该双曲线的标准方程为 _.,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,5.P是双曲线x2y216的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|PF2|_.,所以a216，2a8， 因为P点在双曲线左支上， 所以|PF1|PF2|8.,8,课堂小结,1.双曲线定义中|PF1|PF2|2a (2ab不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21 (mn0)的形式求解.,返回,
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