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第三章 2 抛物线,2.2 抛物线的简单性质,1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 抛物线的几何性质,答案,y0,x0,x0,y0,返回,知识点二 焦点弦,答案,x1x2p,知识点三 直线与抛物线的位置关系 直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程_ 的解的个数.当k0时，若0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有 个公共点；当0时，直线与抛物线 公共点.当k0时，直线与抛物线的对称轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.,一,k2x2,2(kbp)xb20,两,一,没有,平行或重合,题型探究 重点突破,题型一 抛物线的简单性质 例1 过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点. 若|AF|3，则AOB的面积为_. 解析 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，如图所示，|AF|x113，,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称. (2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.,跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，2).求抛物线的标准方程和准线方程.,解析答案,解 (1)当抛物线的焦点在x轴上时， 设其标准方程为y2mx(m0). 将点M(1，2)代入，得m4. 抛物线的标准方程为y24x； (2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2ny(n0).,解析答案,反思与感悟,题型二 抛物线的焦点弦问题,解析答案,反思与感悟,所以直线AB的斜率存在，设为k，,消去x，整理得ky22pykp20.,反思与感悟,解得k2.,反思与感悟,(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解. (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.,解析答案,跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点. (1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值； 解 因为直线l的倾斜角为60，,若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x25，,|AB|538.,解析答案,(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离. 解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知,x1x2px1x23， 所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3，,题型三 直线与抛物线的位置关系 例3 已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，直线l与抛物线C有： (1)一个公共点？,解析答案,消去y，得k2x2(2k4)x10.(*),当k0时，方程(*)为一元二次方程，(2k4)24k2， 当0，即k1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离. 综上所述，当k1或k0时，直线l与抛物线C有一个公共点；,(2)两个公共点？ 解 当k1时，直线l与抛物线C没有公共点. 反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.,解析答案,反思与感悟,跟踪训练3 如图，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.,解析答案,返回,证明 设kABk(k0)， 直线AB，AC的倾斜角互补， kACk(k0)， 直线AB的方程是yk(x4)2.,解析答案,k2x2(8k24k1)x16k216k40. A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解.,返回,所以直线BC的斜率为定值.,1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A.y28x B.y28x C.y28x或y28x D.x28y或x28y 解析 设抛物线y22px或y22px(p0)，,当堂检测,1,2,3,4,5,C,解析答案,2|y|2p8，p4.,解析答案,2.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( ),B,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,3.抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点坐标为( ),C,设此直线与抛物线相切，此时有0，即1616m0，m1.,解析 因为y4x2与y4x5不相交，设与y4x5平行的直线方程为y4xm.,解析答案,4.经过抛物线y22x的焦点且平行于直线3x2y50的直线l的方程是( ) A.6x4y30 B.3x2y30 C.2x3y20 D.2x3y10,1,2,3,4,5,A,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知直线xy10与抛物线yax2相切，则a_.,直线与抛物线相切，a0且14a0.,课堂小结,1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程. 2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用. 3.判断直线与抛物线位置关系的两种方法 (1)几何法：利用图像，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果.,(2)代数法：设直线l的方程为ykxm，抛物线的方程为y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2BxC0(或Ay2ByC0).,返回,直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.,
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