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1.5.3 微积分基本定理(二),第 1章 1.5 定积分,1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积. 2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法. 3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 定积分在求几何图形面积方面的应用 1.求由一条曲线yf(x)和直线xa，xb(ab)及y0所围成的平面图形的面积S.,答案,答案,2.求由两条曲线f(x)和g(x)(f(x)g(x)，直线xa，xb (ab)所围成平面图形的面积S. (1)如图，当f(x)g(x)0时，S .,答案,3.当g(x)f(x)0时，同理得S .,思考 (1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ 答案 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可. (2)当f(x)0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？ 答案 如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)0，下边界函数为f(x)，,答案,4.利用定积分求平面图形面积的步骤： (1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)写出平面图形面积的定积分表达式； (5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案.,知识点二 定积分在物理中的应用 1.在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移的绝对值之和，从时刻ta到时刻tb所经过的路程s和位移s分别为： (1)若v(t)0，则s ，s . (2)若v(t)0，则s ，s . (3)若在区间a，c上v(t)0，在区间c，b上v(t)0， 则s ，s .,答案,2.定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即s . (2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为WFs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间a，b上的定积分，即W .,答案,思考 下列判断正确的是_. (1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念； (2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子 (3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子 解析 (1)显然正确. 对于(2)(3)两个判断，由于当v(t)0时，求某一时间段内的路程和位移均用 求解； 当v(t)0时，求某一时间段内的位移用 求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为 所以(2)错(3)正确.,(1)(3),答案,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一 利用定积分求平面图形的面积问题,反思与感悟,解 在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图. 方法一 以x为积分变量.,设点P(1,0)，则所求面积,解析答案,反思与感悟,方法二 以y为积分变量.,设点P(1,0)，则所求面积,反思与感悟,反思与感悟,若以x为积分变量，则被积函数的原函数不易确定，而且计算也比较麻烦；若以y为积分变量，则可以避免这种情况.选取积分变量有时对解题很关键.,解析答案,跟踪训练1 在曲线yx2(x0)上的某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为 .试求：切点A的坐标和过切点A的切线方程.,解 如图所示，设切点A(x0，y0)， 由y2x得过A点的切线方程为yy02x0(xx0)，,设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S， 则SS曲边AOBSABC.,S曲边AOB,从而切点为A(1,1)，切线方程为y2x1.,解析答案,题型二 对用定积分解决变速问题的理解 例2 一点在直线上从时刻t0(s)开始以速度vt24t3(m/s)运动，求： (1)此点在t4 s时的位置； (2)此点在t4 s时运动的路程.,反思与感悟,解 因为位置决定于位移，所以它是v(t)在0,4上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在0,4上哪些时间段的位移为负.,(2)因为v(t)t24t3(t1)(t3)，所以在区间0,1及3,4上，v(t)0， 在区间1,3上，v(t)0，所以该点在t4 s时的路程为,反思与感悟,反思与感悟,解决此类问题的一般步骤：(1)求出每一时间段上的速度函数；(2)根据定积分的物理意义，求出对应时间段上的定积分.,解析答案,跟踪训练2 有一辆汽车以每小时36 km的速度沿平直的公路行驶，在B处需要减速停车.设汽车以2 m/s2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？ 解 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s. v036 km/h10 m/s，v(t)v0at102t. 令v(t)0，解得t5. 所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为,故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.,解析答案,题型三 用定积分解决变力做功问题 例3 设有一个长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功.,解 设x表示弹簧伸长的长度，f(x)表示加在弹簧上的力， 则f(x)kx(其中常数k为比例系数). 因为当f(x)100时，x5，所以k20. 所以f(x)20x. 弹簧由25 cm伸长到40 cm时，弹簧伸长的长度x从0 cm变化到15 cm，,反思与感悟,反思与感悟,(1)根据物理学知识，求出变力f(x)的表达式；(2)由功的物理意义知，物体在变力f(x)的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体由一个位置移到另一个位置，因此，求功之前应先求出位移的起始位置和终止位置；(3)根据变力做功的公式W 求出变力所做的功.,解析答案,跟踪训练3 如图所示，设气缸内活塞一侧存在一定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由V1变为V2，求气体压力所做的功.,解 由物理学知识知，气体膨胀为等温过程，,L表示活塞移动的距离，VLQ).,记L1，L2分别表示活塞的初始位置和终止位置， 于是有,C(ln V2ln V1).,所以气体体积由V1变为V2，气体压力所做的功为C(ln V2ln V1).,例4 求由抛物线y28x(y0)与直线xy60及y0所围成图形的面积.,易错易混,用定积分求平面图形面积时，因对图形分割不当致误,解析答案,返回,防范措施,错解 由题意，作出图形如图,所以抛物线y28x(y0)与直线xy60的交点坐标为(2,4)，,解析答案,防范措施,防范措施,合理划分积分上、下限及正确选择积分变量，最好结合图形进行处理.,返回,防范措施,当堂检测,1,2,3,4,5,1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有_.,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,和正确. 答案 ,解析答案,1,2,3,4,5,解析,10113.,3,1,2,3,4,5,3.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)270.9t，则列车刹车距离为_.,解析 停车时v(t)0，由270.9t0，得t30，,405,解析答案,解析答案,1,2,3,4,5,4.由曲线yx24与直线y5x，x0，x4所围成平面图形的面积是_.,解析 由图形可得,解析答案,1,2,3,4,5,5.一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm，求弹簧克服弹力所做的功.,解 设F(x)kx， 弹簧压缩x cm可产生4x N的力，k4.,课堂小结,1.利用定积分求平面图形面积的一般步骤： (1)在平面直角坐标系中画出图形；(2)通过解方程求出交点坐标；(3)写出平面图形面积的定积分表达式，当被求平面区域较复杂时，可分割求和；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积. 2.路程问题. (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键.(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算.,3.变力做功问题. (1)变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键一步.(2)根据变力做功的公式，将其转化为求定积分的问题.,返回,
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