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第 1章 导数及其应用,章末复习提升,1.理解导数的定义与计算. 2.掌握导数的应用. 3.学会定积分的概念、运算、应用.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 导数的运算及几何意义 1.函数f(x)在xx0处导数：,答案,f(x0),函数f(x)的导数：,f(x),2.导数的几何意义：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率等于 ，其切线方程为 .,f(x0),yf(x0)f(x0)(xx0),3.函数的求导公式：(C) ，(xn) . (sin x) ，(cos x) ，(ax) ， (ex) ，(logax) ，(ln x) . 4.导数的四则运算法则：f(x)g(x)f(x)g(x)， f(x)g(x) ， (g(x)0).,0,nxn1,cos x,sin x,axln a,ex,f(x)g(x)f(x)g(x),答案,答案,知识点二 导数的应用 1.函数的单调性：在区间(a，b)内，f(x)0，则f(x) ；f(x)0，则f(x) . 2.函数的极值：f(x0)0，在x0附近，从左到右，f(x)的符号由正到负，f(x0)为 ；由负到正，f(x0)为 . 3.函数的最值：闭区间a，b上图象连续不断的函数yf(x)，最值在_ 或 处取得，最大的为最大值，最小的为最小值. 4.生活中的优化问题(导数的实际应用).,递增,递减,极大值,极小值,极值点,区间端点,知识点三 定积分概念、运算和应用,定积分,定积分的概念,定积分的运算,定积分的性质,定积分的几何意义,微积分基本定理 (其中F(x)f(x),定积分的应用,几何中的应用：求平面图形的面积,物理中 的应用,求变速直线运动的路程 求变力做功,F(b)F(a),答案,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一 解决与切线有关的问题 例1 已知函数f(x)exax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1. (1)求a的值及函数f(x)的极值；,解 由f(x)exax，得f(x)exa. 所以f(x)ex2x，f(x)ex2. 当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递减； 所以当xln 2时，f(x)取得极小值， 且极小值f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值.,又f(0)1a1，得a2.,令f(x)0，得xln 2.,当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递增.,解析答案,(2)证明：当x0时，x20. 故g(x)在R上单调递增， 又g(0)10， 因此，当x0时，g(x)g(0)0，即x2ex.,反思与感悟,反思与感悟,高考中求切线方程问题主要有以下两种类型： 类型1 求“在”曲线yf(x)上一点P(x0，y0)的切线方程(高考常考类型).则点P(x0，y0)为切点，当切线斜率存在(即函数f(x)在x0处可导)时，切线斜率为kf(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为yy0f(x0)(xx0)；当切线斜率不存在时，对应的切线方程为xx0.,反思与感悟,类型2 求“过”曲线yf(x)上一点P(x0，y0)的切线方程，则切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点.这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：设点A(x1，y1)是曲线yf(x)上的一点，则以A为切点的切线方程为yy1f(x1)(xx1)；根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线yf(x)上，得到方程组,求出切点A(x1，y1)，代入方程yy1f(x1)(xx1)，,化简即得所求的切线方程.,解析答案,跟踪训练1 已知函数f(x)x3x16. (1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；,解 f(2)232166， 点(2，6)在曲线上. f(x)(x3x16)3x21， 在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)322113， 切线的方程为y13(x2)(6)， 即y13x32.,解析答案,(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.,解 设切点坐标为(x0，y0)，,x02，y0(2)3(2)1626， k3(2)2113， 直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26).,解析答案,题型二 利用导数求参数取值范围问题 例2 设函数f(x) x2exxex. (1)求f(x)的单调区间；,解 函数f(x)的定义域为(，)， f(x)xex(exxex)x(1ex). 若x0，则1ex0，f(x)0； 若x0，则1ex0，f(x)0； 若x0，则f(x)0. f(x)在(，)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(，).,解析答案,(2)若当x2,2时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围. 解 由(1)知f(x)在2,2上单调递减， f(x)minf(2)2e2. 当m2e2时，不等式f(x)m恒成立.,反思与感悟,反思与感悟,利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解. 求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x)； (2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值.,解析答案,(1)若f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；,由题意知f(x)0在(0，)上恒成立， ax2ln x10在(0，)上恒成立，,当x(0，x0)时，h(x)0，函数h(x)单调递增； 当x(x0，)时，h(x)0，函数h(x)单调递减. h(x)在x0 处取得最大值.,解析答案,(2)若函数g(x)xf(x)有唯一零点，试求实数a的取值范围.,解析答案,解 由题意知g(x)xf(x)ax2xln x0，,故当x(0,1)时，R(x)0，(x)0，函数(x)单调递减；,且易得R(1)0，,当x(1，)时，R(x)0，(x)0，函数(x)单调递增. 故(x)(1)1. 又当x0时，(x)， 而当x时，(x)0且(x)0，可得如图所示的图象. 故满足条件的实数a的取值范围为a|a0或a1.,解析答案,题型三 利用导数求函数的极值、最值问题,(1)若f(x)在x2时取得极值，求a的值；,因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0； 当x(2，)，f(x)0， 所以当a4时，x2是一个极小值点，故a4.,解析答案,(2)求f(x)的单调区间；,所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，).,解析答案,反思与感悟 有关函数极值、最值问题，需注意求解思路与方法，理解构造函数在解(证)题中的灵活运用.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 已知函数f(x)x3ax2bx在区间(2,1)内，当x1时取极小值，当x 时取极大值. (1)求函数yf(x)在x2时的对应点的切线方程；,解 f(x)3x22axb.,x2时，f(x)2，即(2,2)在曲线上. 又切线斜率为kf(x)3x2x2，f(2)8， 所求切线方程为y28(x2)，即为8xy140.,解析答案,(2)求函数yf(x)在2,1上的最大值与最小值.,解 x在变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：,例4 现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？,易错易混,解实际问题时因忽略定义域致误,解析答案,返回,防范措施,解析答案,防范措施,令y0，解得x40或x40(舍去). 当0x40时，y0；当x40时，y0.,故为了使全程运输成本最小，轮船应以40海里/小时的速度行驶.,解析答案,防范措施,错因分析 解应用题最关键的就是要表达清楚模型的函数关系式，这其中就包括函数的定义域.定义域一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义.本题错解就是因为忽略了定义域导致最后的解题错误.,令y0，解得x40或x40(舍去).,因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值.,防范措施,又当0x35时，y0，,故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/小时的速度行驶.,正确确定自变量的取值范围，在解题过程中，要在其允许取值范围内求解.,返回,防范措施,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.函数f(x)(2x)2的导数是 .,解析 因f(x)42x2，故f(x)82x.,f(x)82x,解析答案,1,2,3,4,5,2.函数f(x)xex的单调递增区间是 .,令f(x)0, 得x1，故增区间为(，1).,(，1),1,2,3,4,5,解析 由st35t24t0， 得t(t25t4)0，t(t1)(t4)0，t10，t21，t34， 即t0或1或4时，速度为0.,0或1或4,解析答案,解析答案,1,2,3,4,5,4.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之 比为21，则该长方体的长、宽、高分别为 时，其体积最大.,由V0得x1或x0(舍去). x1是函数V在(0，)上唯一的极大值点，也是最大值点，,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在点x1处的切线为l：3xy10，若x 时，yf(x)有极值. (1)求a，b，c的值；,解 由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb. 由题意，当x1时，切线的斜率为3，可得2ab0. ,可得4a3b40. 由解得a2，b4， 1abc4，c5.,由于切点横坐标为1，f(1)4，,故a2，b4，c5.,解析答案,(2)求yf(x)在3,1上的最大值和最小值.,解 由(1)可得f(x)x32x24x5，,f(x)3x24x4.,当x变化时，y，y的变化情况如下表：,1,2,3,4,5,课堂小结,返回,1.可导函数f(x)在x0处取得极值的充分必要条件是f(x0)0且f (x)在x0两侧的符号不同，f(x0)0是x0为极值点的必要不充分条件，函数极值是一个局部概念，求极值时经常把f(x)0的点附近函数值的变化情况列成表格. 2.一些求参数取值范围的问题，常转化为恒成立问题，利用f(x)a恒成立f(x)maxa和f(x)a恒成立f(x)mina的思想解题.存在或有解问题，如f(x)a有解af(x)min和f(x)a有解af(x)max成立.,
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