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1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 定积分,第 1章 1.5 定积分,1.了解定积分的概念. 2.理解定积分的几何意义. 3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想.4.能用定积分的定义求简单的定积分.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：由直线xa，xb(ab)，y0和曲线 所围成的图形称为曲边梯形(如图所示).,答案,yf(x),(2)求曲边梯形面积的方法 把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些 ，对每个 “以直代曲”，即用矩形的面积近似 代替 的面积，得到每个小曲边梯形面积的 ，对这些近似值 ，就得到曲边梯形面积的 (如图所示). (3)求曲边梯形面积的步骤： ， ， ， . 2.求变速直线运动的(位移)路程 如果物体做变速直线运动，速度函数vv(t)，那么也可以采用 ，_ ， ， 的方法，求出它在atb内所作的位移s.,答案,小曲边梯形,小曲边梯形,小曲边梯形,近似值,求和,近似值,分割,以直代曲,作和,逼近,分割,以直,代曲,作和,逼近,思考 (1)如何计算下列两图形的面积？,答案,答案 直接利用梯形面积公式求解. 转化为三角形和梯形求解.,(2)求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？ 答案 为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小.,答案,知识点二 定积分的概念 设函数f(x)在区间a，b上有定义，将区间a，b等分成n个小区间，每个小区间长度为x(x )，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，xi，xn，作和Snf(x1)xf(x2)xf(xi)xf(xn)x，如果当x0(亦即n)时，SnS(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作S .其中a与b分别叫做 与 ，区间a，b叫做 ，函数f(x)叫做 ，x叫做 ，f(x)dx叫做 .,答案,积分下限,积分上限,积分区间,被积函数,积分变量,被积式,思考 (1)如何理解定积分？ 答案 定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，,答案,答案,答案 分割：将区间a，bn等分，记第i个小区间为xi1，xi，区间长度xxixi1；,逼近.,知识点三 定积分的几何意义与性质 1.定积分的几何意义 由直线xa，xb(ab)，x轴及一条曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有： (1)在区间a，b上，若f(x)0， 则S ，如图(1)所示， 即 . (2)在区间a，b上，若f(x)0， 则S ，如图(2)所示， 即 .,答案,答案,即 (SA，SB表示所在区域的面积).,答案,返回,思考 设vv(t)在时间区间t1，t2上连续且恒有v(t)0，定积分 的意义是什么？ 答案 定积分 表示做变速直线运动的物体在时间区间t1，t2内经过的路程，这就是定积分 的物理意义.,题型探究 重点突破,解析答案,题型一 对定积分的理解 例1 用定积分的定义求曲线yx31与x0，x1及y0所围成的曲边梯形的面积.,过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记为S1，S2，Si，Sn.,解析答案,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,对图形进行分割实现了把求不规则的图形面积化归为矩形面积，但这仅是近似值，分割得越细，近似程度就会越高，这就是“以直代曲”方法的应用.,解析答案,跟踪训练1 求由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形的面积.,解析答案,解 (1)分割： 将曲边梯形分成n个小曲边梯形，,过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：S1，S2，Si，Sn.,(2)以直代曲： 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积.,为了计算方便取xi为小区间的左端点，,解析答案,解析答案,(3)作和： 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值， 所以n个小矩形面积的和，就是曲边梯形面积S的近似值.,(4)逼近： 当分点数目愈多，即x愈小时，和式的值就愈接近曲边梯形的面积S， 因此，当n，即x0时，和式的逼近值就是所求曲边梯形的面积.,解析答案,题型二 求汽车行驶的路程 例2 汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为svt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)t22(v的单位：km/h，t的单位：h)，那么它在1t2这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？,反思与感悟,解 将区间1,2等分成n个小区间，,反思与感悟,反思与感悟,利用类比转化的思想，把求汽车行驶的路程转化为求时间速度坐标系中的曲边梯形的面积，再用求曲边梯形的面积方法来解决此问题.,解析答案,跟踪训练2 一物体自200 m高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离.(g9.8 m/s2).,解 自由落体的下落速度为v(t)gt.,以左端点函数值作为该区间的速度.,故该物体在下落后第3 s至第6 s之间的距离是132.3 m.,解析答案,题型三 由定积分的几何意义求定积分 例3 利用定积分的几何意义，求：,以3为半径的上半圆，如图(1)所示.,解析答案,解 在坐标平面上，f(x)2x1为一条直线.,反思与感悟 利用定积分的几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，求不规则图形的面积常用分割法，注意分割点的选取.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 利用定积分的几何意义计算.,解 如图所示，定积分为图中阴影部分面积A减去B.,解 如图所示，定积分为图中阴影部分面积，,例4 如图所示，f(x)在区间a，b上，则阴影部分的 面积S为 .,易错易混,因对定积分的几何意义理解不准确致误,解析答案,返回,防范措施,错解 错填或或. 错因分析 错误的原因在于对定积分的几何意义不理解或理解不够透彻.,防范措施,若在a，c上，f(x)0，在c，b上，f(x)0，,返回,定积分的几何意义是在x轴上半部计算的面积取正值，在x轴下半部计算的面积取负值.,防范措施,当堂检测,1,2,3,4,解析答案,1.把区间1,3n等分，所得n个小区间的长度均为 .,与f(x)和积分区间a，b有关，与i的取法无关； 与f(x)有关，与区间a，b以及i的取法无关； 与f(x)以及i的取法有关，与区间a，b无关； 与f(x)、积分区间a，b和i的取法都有关.,答案,1,2,3,4,3.求由曲线y x2与直线x1，x2，y0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是 .,解析答案,1.02,1,2,3,4,4.根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：,答案,1,2,3,4,课堂小结,1.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n等分区间a，b； (2)以直代曲：取点ixi1，xi；,(4)逼近.“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).,返回,3.可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分. 4.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.,
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