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1.4 导数在实际生活中的应用,第 1章 导数及其应用,1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题. 3.学会建立数学模型，并会求解数学模型.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 利用导数解决生活中的优化问题的步骤 1.分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)； 2.求函数的导数f(x)，解方程f(x)0； 3.比较函数在区间端点和在f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.,思考 (1)什么是优化问题？ 答案 在生活中，人们常常遇到求使经营利润最大、用料最省、费用最少、生产效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. (2)优化问题的常见类型有哪些？ 答案 费用最省问题，利润最大问题，面积、体积最大问题等.,答案,知识点二 解决优化问题的基本思路,思考 解决生活中优化问题应注意什么？,答案,返回,答案 (1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式； (2)在建立函数模型的同时，应根据实际问题确定出函数的定义域； (3)在实际问题中，由f(x)0常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大值(极小值)，那么不与端点处的函数值比较，也可以判断该极值就是最大值(最小值)； (4)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，例如，长度、宽度应大于0，销售价格为正数等.,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一 利润最大问题 例1 某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低售价，销售量就会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元/件，0x21)的平方成正比.已知每件商品的售价降低2元时，一星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数；,解 若每件商品单价降低x元，则一个星期多卖的商品数为kx2件. 由已知条件得k2224，解得k6. 若记一个星期的商品销售利润为f(x)， 则有f(x)(30x9)(4326x2)6x3126x2432x9 072，x0,21.,解析答案,(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解 对(1)中函数求导得f(x)18x2252x43218(x2)(x12). 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,x12时，f(x)取得极大值. f(0)9 072，f(12)11 664， 301218(元)，故定价为每件18元能使一个星期的商品销售利润最大.,反思与感悟,反思与感悟,利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值. 解此类问题需注意两点：价格要大于或等于成本，否则就会亏本； 销量要大于0，否则不会获利.,解析答案,跟踪训练1 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x吨与每吨产品的价格p(元/吨)之间的函数关系式为p24 200 x2，且生产x吨产品的成本为R50 000200x(元).问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？,解 依题意，知每月生产x吨产品时的利润为,令f(x)0，得x1200，x2200(舍去). 在(0，)内只有一个点x200使f(x)0，且x200是极大值点， 200就是最大值点，且最大值为,每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元.,解析答案,题型二 面积、容积最值问题 例2 已知一扇窗子的形状为一个矩形和一个半圆相接，其中半圆的直径为2r，如果窗子的周长为10，求当半径r取何值时窗子的面积最大.,解 设矩形的另一边长为x，半圆弧长为r，,反思与感悟,反思与感悟,在解决面积、体积的最值问题时，要正确引入变量，将面积或体积表示为关于变量的函数，结合使实际问题有意义的变量的范围，利用导数求函数的最值.,解析答案,跟踪训练2 如图，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|3 m，|AD|2 m. (1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长应在什么范围内？ (2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积； (3)若AN的长度不少于6 m，则当AN的长度是多少时， 矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.,x2，3x232x640，即(3x8)(x8)0，,解析答案,即当AN的长度为4 m时，S矩形AMPN取得最小值24 m2.,解析答案,即当AN的长度为6 m时，S矩形AMPN取得最小值27 m2.,解析答案,题型三 成本最省问题 例3 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b0)；固定部分为a元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；,解析答案,(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解 由题意，s、a、b、v均为正数.,所以当vc时，y最小.,综上可知，为使全程运输成本y最小，,反思与感悟,反思与感悟,选取合适的量做自变量，并根据实际确定其取值范围，正确列出函数关系式，然后利用导数求最值.其中把实际问题转化为数学问题，正确列出函数关系式是解题关键.,解析答案,跟踪训练3 工厂A到铁路的垂直距离为20 km，垂足为B，铁路线上距离B处100 km的地方有一个原料供应站C，现在要从BC段上的D处向工厂修一条公路，使得从原料供应站C到工厂A所需的运费最省，已知每千米的铁路运费与公路运费之比为35，则D点应选在何处？,于是从原料供应站C途中经中转站D到工厂A所需总运费为,由实际问题可知，运输费用一定有最小值，而此函数有唯一极值点， 故x15时取最小值，故D点在距B点15 km处最好.,例4 某船由甲地逆水行驶到乙地，甲、乙两地相距s(km)，水的流速为常量a(km/h)，船在静水中的最大速度为b(km/h)(ba)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比，比例系数为k，则船在静水中的航行速度为多少时，其全程的燃料费用最省？,易错易混,因没有注意问题的实际意义而出错,解析答案,返回,防范措施,错解 设船在静水中的航行速度为x km/h，全程的燃料费用为y元，,解析答案,防范措施,令y0，得x2a或x0(舍)，所以f(2a)4ask， 即当x2a时，ymin4ask. 故当船在静水中的航行速度为2a km/h时，燃料费用最省. 错因分析 这个实际问题的定义域为(a，b，而x2a为函数的极值点，是否在(a，b内不确定，所以需要分类讨论，否则会出现错误.,正解 设船在静水中的航行速度为x km/h，全程的燃料费用为y元，,解析答案,防范措施,令y0，得x2a或x0(舍). (1)当2ab时，若x(a,2a)，y0，f(x)为减函数， 若x(2a，b时，y0，f(x)为增函数， 所以当x2a时，ymin4ask.,防范措施,当x(a，b时，y0， 所以f(x)在(a，b上是减函数，,综上可知，若b2a，则当船在静水中的速度为b km/h时，燃料费用最省； 若b2a，则当船在静水中的速度为2a km/h时，燃料费用最省.,在运用导数解决实际问题的过程中，正确建立数学模型，找到实际问题中函数定义域的取值范围.,返回,防范措施,当堂检测,1,2,3,4,解析答案,1.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为_.,解析 设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x，,解析答案,2.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高 为_ cm.,1,2,3,4,3.一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则月租金定为_元时可获得最大收入.,解析 设x套为没有租出去的公寓数， 则收入函数f(x)(1 00050x)(50x)100(50x)， f(x)1 600100x， 当x16时，f(x)取最大值，故把月租金定为1 800元时收入最大.,1 800,解析答案,1,2,3,4,解析答案,4.制作容积为256的方底无盖水箱，它的高为_时最省材料.,解析 设底面边长为x，高为h，则V(x)x2h256，,4,1,2,3,4,课堂小结,返回,1.解应用题的思路方法：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定答案. 2.解决最优化问题首先要确定变量之间的函数关系，建立函数模型.要熟记常见函数模型，如二次函数模型、三次函数模型、分式函数模型、幂指对模型、三角函数模型等. 3.除了变量之间的函数关系式外，实际问题中的定义域也很关键，一定要结合实际问题的意义确定定义域.,
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