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1.3.2 函数的极值与导数,第一章 1.3 导数在研究函数中的应用,1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 函数极值的概念,答案,f(x)0,1.极小值点与极小值 如图，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值.,f(x)0,答案,f(x)0,2.极大值点与极大值 如图，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb的左侧 ，右侧 ， 则把点b叫做函数 的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值. 、 统称为极值点， 和 统称为极值.,f(x)0,yf(x),极大值点,极小值点,极大值,极小值,思考 (1)可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？,答案,答案 可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点， 即“函数yf(x)在一点的导数值为零是函数yf(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”. 可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧和右侧f(x)符号不同. 如果在x0的两侧f(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点.,(2)函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？,答案 不一定.,知识点二 求可导函数f(x)的极值方法与步骤,答案,极大值,1.求函数yf(x)的极值的方法 解方程f(x)0，当f(x0)0时： (1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是 ； (2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是 . 2.求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数f(x). (2)求f(x)的拐点，即求方程 的根. (3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.,极小值,f(x)0,思考 可导函数f(x)若存在极值点x0，则x0能否为相应区间的端点吗？,答案 不能.,返回,答案,题型探究 重点突破,题型一 求函数的极值,解析答案,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,解 由题意可知f(x)x24. 解方程x240，得x12，x22. 由f(x)0得x2或x2； 由f(x)0得2x2. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,反思与感悟,反思与感悟,求可导函数 f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数 f(x)； (2)求方程 f(x)0的根； (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测 f(x)在方程根左右两侧的值的符号， 如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值； 如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值.,跟踪训练1 求下列函数的极值. (1)y2x36x218x3；,解析答案,解 函数的定义域为R. y6x212x186(x3)(x1)， 令y0，得x3或x1. 当x变化时，y，y的变化情况如下表：,从上表中可以看出，当x3时，函数取得极大值，且y极大值57. 当x1时，函数取得极小值，且y极小值7.,解析答案,解 函数的定义域为(，0)(0，)，,令y0，得x2或x2. 当x2时，y0；当2x0时，y0. 即x2时，y取得极大值，且极大值为8. 当0x2时，y0；当x2时，y0. 即x2时，y取得极小值，且极小值为8.,题型二 利用函数极值确定参数的取值范围(或值),解析答案,例2 已知函数 f(x)6ln xax28xb(a，b为常数)，且x3为 f(x)的一个极值点. (1)求a的值；,(2)求函数 f(x)的单调区间；,解 函数 f(x)的定义域为(0，). 由(1)知 f(x)6ln xx28xb.,解析答案,由 f(x)0可得x3或0x1， 由 f(x)0可得1x3(x0舍去). 函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，)，单调递减区间为(1,3).,(3)若yf(x)的图象与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的取值范围.,解析答案,反思与感悟,解 由(2)可知函数 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，)上单调递增.且当x1和x3时，f(x)0. f(x)的极大值为 f(1)6ln 118bb7， f(x)的极小值为 f(3)6ln 3924b6ln 3b15. 当x充分接近0时，f(x)0，当x充分大时，f(x)0， 要使 f(x)的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，,b的取值范围是7b156ln 3.,解决参数问题时，要结合函数的图象，同时准确理解函数极值的应用.,反思与感悟,解析答案,解 因为a0，所以“f(x) x3bx2cxd在(，)内无极值点”等价于“f(x)ax22bxc0在(，)内恒成立”. 由f(x)9x0(即ax2(2b9)xc0)的两实数根分别为1,4，,所以对于一元二次方程ax22bxc0，(2b)24ac9(a1)(a9). 不等式ax22bxc0在(，)内恒成立,易验证a1与a9均满足题意，故a的取值范围是1,9.,题型三 函数极值的综合应用,解析答案,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,则函数yg(t)的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点.,即a2，使函数图象与坐标轴横轴有三个不同的交点. 所以实数a的取值范围为(2，).,求出函数的所有极值，有利于我们整体把握函数图象的特征，也就为我们证明有关不等式、解决某些方程根的个数等问题提供了有力的依据，因而函数的极值在中学数学中应用广泛，是高考命题的热点.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 已知函数 f(x)x3ax2b(a，bR). (1)求函数 f(x)的单调递增区间；,解析答案,(2)若对任意a3,4，函数 f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围.,解析答案,所以实数b的取值范围为(4,0).,解析答案,因忽视对所得参数进行检验而致误,例4 若函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，试求a，b的值.,返回,防范措施,易错易混,错解 由导数公式表和求导法则得， f(x)3x22axb，,解析答案,错因分析 由于函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而非充分条件. 因此，本题在解答时很容易忽略对得出的两组解进行检验而出错.,防范措施,正解 由导数公式表和求导法则得，f(x)3x22axb，,但由于当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)20， 故 f(x)在R上单调递增，不可能在x1处取得极值，,解析答案,防范措施,故a，b的值分别为4，11.,防范措施,根据极值条件求参数的值的问题中，在得到参数的两组解后，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，考查每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍.,返回,防范措施,当堂检测,1,2,3,4,5,1.已知函数 f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A.(2,3) B.(3，) C.(2，) D.(，3),B,解析答案,解析 f(x)6x22ax36，且在x2处有极值， f(2)0,244a360，a15， f(x)6x230x366(x2)(x3)， 由 f(x)0得x2或x3.,1,2,3,4,5,2.下列关于函数的极值的说法正确的是( ) A.导数值为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值 D.若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数,D,解析答案,解析 由极值的概念可知只有D正确.,1,2,3,4,5,3.函数 f(x)的定义域为R，导函数 f(x)的图象如图所示，则函数f(x)( ) A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点,解析答案,C,解析 在xx0的两侧，f(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值； f(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值， 由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.,1,2,3,4,5,解析答案,4.已知 f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A.1a2 B.3a6 C.a1或a2 D.a3或a6,D,解析 f(x)3x22ax(a6)， 因为 f(x)既有极大值又有极小值，那么(2a)243(a6)0， 解得a6或a3.,1,2,3,4,5,解析答案,5.设函数 f(x)6x33(a2)x22ax.若 f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，则实数a的值为_.,9,课堂小结,返回,1.求函数极值的基本步骤： (1)求函数定义域；(2)求 f(x)；(3)解 f(x)0；(4)列表( f(x)，f(x)随x的变化情况)；(5)下结论. 2.函数的极值的应用： (1)确定参数的值，一般用待定系数法； (2)判断方程根的情况时，利用导数研究函数单调性、极值，画出函数大致图象，利用数形结合思想来讨论根的情况.,
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