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1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念,第一章 1.1 变化率与导数,1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念. 2.掌握函数平均变化率的求法. 3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 函数的平均变化率,答案,平均变化率,1.平均变化率的概念 设函数yf(x)，x1，x2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子 表示，我们把这个式子称为函数yf(x)从x1到x2的 ，习惯上用x表示x2x1，即xx2x1，可把x看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1x代替x2；类似地，y .于是，平均变化率可以表示为 .,f(x2)f(x1),答案,x2x1,2.求平均变化率 求函数yf(x)在x1，x2上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量x ； (2)求函数值的增量y ； (3)求平均变化率 .,f(x2)f(x1),思考 (1)如何正确理解x，y?,答案,答案 x是一个整体符号，而不是与x相乘，其值可取正值、负值， 但x0；y也是一个整体符号，若xx1x2， 则yf(x1)f(x2)，而不是yf(x2)f(x1)，y可为正数、负数，亦可取零.,(2)平均变化率的几何意义是什么？,答案 如图所示：yf(x)在区间x1，x2上的平均 变化率是曲线yf(x)在区间x1，x2上陡峭程度的 “数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视 觉化”， 越大，曲线yf(x)在区间x1，x2上越“陡峭”，反之亦然.,平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率， 若函数yf(x)图象上有两点A(x1，f(x1) ，B(x2，f(x2) ，,答案,知识点二 瞬时速度与瞬时变化率,答案,瞬时速度,把物体在某一时刻的速度称为 .做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数ss(t)描述，设t为时间改变量，在t0t这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是s ，那么位移改变量s与时间改变量t的比就是这段时间内物体的平均速度 ，即 .,s(t0t)s(t0),答案,瞬时变化率,物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度，即t0时刻的瞬时速度，用v表示，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0t这段时间内的平均变化率 在t0时的极限，即 .瞬时速度就是位移函数对时间的 .,思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？,答案 其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.,答案 区别：平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢； 联系：当x趋于0时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.,(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？,答案,知识点三 导数的概念,答案,导数,思考 (1)函数f(x)在x0处的导数满足什么条件时存在？,答案 求解函数f(x)在x0处导数的步骤如下： 求函数值的增量：yf(x0x)f(x0)；,(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤是什么？,返回,答案,题型探究 重点突破,题型一 求平均变化率,解析答案,反思与感悟,解 当自变量从x0变化到x0x时，函数的平均变化率为,反思与感悟,解析答案,2x4,解析 因为yf(1x)f(1)2(x)24x，,解析答案,题型二 实际问题中的瞬时速度,解析答案,例2 一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2(位移单位：m，时间单位：s). (1)求此物体的初速度；,即物体的初速度为3 m/s.,(2)求此物体在t2时的瞬时速度；,即此物体在t2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反.,解析答案,(3)求t0到t2时的平均速度.,即t0到t2时的平均速度为1 m/s.,解析答案,反思与感悟,作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，t趋近于0，指时间间隔t越来越小，但不能为0，t，s在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.,反思与感悟,解析答案,解析答案,(2)求t3秒时的瞬时速度.,所以t3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒.,题型三 函数在某点处的导数,解析答案,反思与感悟,从而y|x12.,求函数在xx0处的导数的步骤： (1)求函数值的增量，yf(x0x)f(x0)；,反思与感悟,解析答案,解析答案,因对导数的概念理解不到位致误,例4 设函数f(x)在x0处可导，且f(x0)已知，求下列各式的极限值.,返回,易错易混,防范措施,错因分析 在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x是哪种形式，y必须选择相对应的形式.如(1)中x的改变量为xx0(x0x)，(2)中x的改变量为2h(x0h)(x0h).,解析答案,防范措施,防范措施,自变量的改变量x的值为变后量与变前量之差.,返回,防范措施,当堂检测,1,2,3,4,5,1.在求解平均变化率时，自变量的变化量x应满足( ) A.x0 B.x0 C.x0 D.x可为任意实数,C,解析答案,1,2,3,4,5,A.从时间t到tt时物体的平均速度 B.t时刻物体的瞬时速度 C.当时间为t时物体的速度 D.从时间t到tt时位移的平均变化率,B,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,物体在t0时刻的瞬时速度为v0gt0. 由此，类似地可得到物体运动的速度函数为 v(t)v0gt，,故物体在t0时刻的瞬时加速度为g.,课堂小结,返回,
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