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2.3.3 等比数列的前n项和,目标导航,预习引导,目标导航,预习引导,预习交流1 若等比数列an的公比为q,求其前n项和时要注意什么? 提示:应讨论q=1还是q1. 预习交流2 若一个数列是等比数列,它的前n项和写成Sn=Aqn+B(q1),则A与B有何关系? 提示:A+B=0,目标导航,预习引导,目标导航,预习引导,预习交流3 什么样的数列可采用“错位相减法”求前n项和? 提示:如果数列an是等差数列,数列bn是公比不为1的等比数列,则数列anbn的前n项和可用“错位相减法”求解.,目标导航,预习引导,预习交流4 (1)等比数列an的首项a1=1,公比q=2,则S6= . 答案:63 提示:S6= =26-1=64-1=63. (2)设首项为a的数列an既是等差数列,又是等比数列,则此数列的前n项和为 . 答案:na 提示:由题意,此数列公比为1,所以Sn=na.,提示:2-,一,二,三,一、等比数列前n项和公式及应用 活动与探究 例1在等比数列an中, (1)S2=30,S3=155,求Sn; (2)a1+a3=10,a4+a6= ,求S5. 思路分析:根据条件列方程组,然后再求所要求的量.,一,二,三,一,二,三,迁移与应用 1.等比数列an的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是 . 答案:211 解析:a1=81,a5=16,一,二,三,一,二,三,名师点津 1.已知a1,an,n或a1,q,n可求得等比数列的前n项和. 2.在a1,an,q,n,Sn五个量中已知其中三个量,可以求得其余两个量. 3.在等比数列an中,首项a1与公比q是两个最基本的元素;有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)利用等比数列的有关性质;(3)注意在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1.,一,二,三,二、等比数列前n项和的性质及应用 活动与探究 例2各项均为正数的等比数列an中,若S10=10,S20=30,求S30. 思路分析:可以利用解方程组处理,也可以利用等比数列的前n项和的性质来解决. 解:解法一:设an的公比为q,显然q1.,一,二,三,一,二,三,一,二,三,2.等比数列an中,已知a1=1,且an共有偶数项,若其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则公比q= ,共有 项. 答案:2 8 解析:设项数为2k(kN*), 则(a1+a3+a5+a2k-1)q =a2+a4+a6+a2k. 又a1=1, S2k=22k-1,即22k-1=170+85. k=4,即共有8项.,一,二,三,名师点津 1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,求“基本量”是常见的解题思路,但有时灵活运用性质,可使运算变得简便. 2.由于等比数列中,无论是通项公式还是前n项和公式,均与q的若干次幂有关,所以在解决等比数列问题时,经常出现高次方程,为达到降幂的目的,在解方程组时经常利用两式相除,达到整体消元的目的.,一,二,三,三、数列求和问题 活动与探究 例3求和Sn=x+2x2+3x3+nxn. 思路分析:讨论x的取值,根据x的取值情况,选择恰当方法.,一,二,三,一,二,三,迁移与应用 1.数列(-1)nn的前n项和为Sn,则S2 014等于 . 答案:1 007 解析:S2 014=-1+2-3+4+(-2 013)+2 014 =(-1+2)+(-3+4)+(-2 013+2 014) =1 007.,一,二,三,一,二,三,3.已知数列an是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列an的通项公式; (2)令bn=2nan,求数列bn的前n项和Sn. 解:(1)设公差为d,由已知a1=2,a1+a2+a3=3a1+3d=12得d=2, an=a1+(n-1)d=2n. (2)bn=2nan=2n2n. Sn=221+422+623+2n2n, 2Sn=222+423+624+2n2n+1. 将错位相减得, -Sn=2(21+22+23+2n)-2n2n+1 =4(2n-1)-2n2n+1, Sn=(n-1)2n+2+4.,一,二,三,名师点津 1.一般地,若数列an是等差数列,bn是等比数列且公比为q,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法. 2.运用等比数列前n项和公式时,必须注意公比q是否为1,若不能确定公比q是否为1,应分类讨论. 3.在写Sn和qSn表达式时,应特别注意“错项对齐”,以便于下一步准确写出Sn. 4.分组求和法,它适用通项由两部分组成,并且能拆分成一个等差数列和一个等比数列和的形式的数列求和.,2,3,4,5,1,6,1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项的和等于( ) A.31 B.33 C.35 D.37 答案:B 解析:S5=1,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,4.数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+2n-1,的前n项和为 . 答案:2n+1-n-2 解析:根据等比数列的求和公式得an=2n-1, 则Sn=(2+22+2n)-n=2n+1-n-2.,2,3,4,5,1,6,5.在等比数列an中,前n项和Sn=3n+1+r,求r. 解:当n2时,an=Sn-Sn-1=3n+1+r-(3n+r),2,3,4,1,5,6,6.求数列n3n的前n项和Sn. 解:Sn=3+232+333+n3n. 3Sn=32+233+334+(n-1)3n+n3n+1. 由-,得2Sn=n3n+1-(3+32+33+3n),
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