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2.2.1 等差数列的概念,目标导航,预习引导,目标导航,预习引导,1.等差数列的概念 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 预习交流1 若把等差数列概念中的“同一个”三字去掉,这个数列还是等差数列吗? 提示:不是,没有“同一个常数”,该数列就不是“等差”数列了.例如数列1,1,2,4,7,10,13. 第2项与第1项差为0,第3项与第2项差为1,所以不是等差数列.,目标导航,预习引导,2.等差数列的性质 (1)等差数列中相邻三项间的关系为_.,目标导航,预习引导,预习交流2 在等差数列中,项的大小变化规律与公差有何关系? 提示:当d0时,数列中的项随项数的增大而增大. 当d=0时,数列中的各项都相同. 当d0时,数列中的项随项数的增大而减小. 预习交流3 (1)等差数列-5,-4,-3,-2,-1的公差d= . (2)常数列c的公差d为 . (3)数列2,5,a,b成等差数列,则a= ,b= . 提示:(1)1 (2)0 (3)8 11,一,二,三,一、等差数列的定义及应用 活动与探究 例1判断下列数列是否为等差数列. (1)an=3n+2;(2)an=n2+n. 思路分析:利用等差数列定义,看an+1-an是否为常数即可. 解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3.由n的任意性知,这个数列为等差数列. (2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数,所以这个数列不是等差数列.,一,二,三,迁移与应用 1.以下选项中能构成等差数列的是 . 2,2,2,2 cos 0,cos 1,cos 2,cos 3 3m,3m+a,3m+2a,3m+3a a-1,a+1,a+3 答案: 解析:是公差为0的等差数列;是公差为a的等差数列;是公差为2的等差数列,故选.,一,二,三,一,二,三,名师点津 判断一个数列是否为等差数列,其关键在于分析所给数列是否满足以下两条: (1)是否是从第2项起; (2)是否每一项减去它的前一项为同一常数.,一,二,三,二、等差中项问题 活动与探究 例2已知数列xn的首项x1=3,通项xn=2np+nq(p,q为常数),且x1,x4,x5成等差数列.求p,q的值. 思路分析:由x1,x4,x5成等差数列得出一个关于p,q的等式,结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q. 解:由x1=3,得2p+q=3, 又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得 3+25p+5q=25p+8q, 由得q=1,p=1.,一,二,三,一,二,三,一,二,三,名师点津 利用等差数列的定义巧设未知量,从而简化计算.一般地,有如下规律:当等差数列an的项数n为奇数时,可设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,;当项数为偶数时,可设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:,a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样可减少计算量. 特别地,当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,可设出首项a1和公差d列方程组求解,也可采用对称的设法,三个数时,设a-d,a,a+d;四个数时,设a-3d,a-d,a+d,a+3d,利用和为定值,先求出其中某个未知项.,一,二,三,三、等差数列的判定与证明 活动与探究 例3已知数列an的通项公式为an=pn2+qn(常数p,qR). (1)当p和q满足什么条件时,数列an是等差数列? (2)求证:对任意的实数p和q,数列an+1-an都是等差数列. 思路分析:(1)由等差数列的定义可知,an是等差数列an+1-an是一个与n无关的常数.(2)即证明(an+2-an+1)-(an+1-an)是一个与n无关的常数.,一,二,三,(1)解:设数列an是等差数列, 由题意,得an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q, 上式应是一个与n无关的常数, 有2p=0,即p=0. 当p=0时,数列an是等差数列. (2)证明:an+1-an=2pn+p+q, an+2-an+1=2p(n+1)+p+q. (an+2-an+1)-(an+1-an) =2p(n+1)+p+q-(2pn+p+q) =2p(常数). 对任意的实数p和q,数列an+1-an都是等差数列.,一,二,三,迁移与应用 1.数列an是等差数列,且an=an2+n,则实数a= . 答案:0 解析:an是等差数列, an+1-an=常数. a(n+1)2+(n+1)-(an2+n)=2an+a+1=常数, 2a=0.a=0.,一,二,三,一,二,三,名师点津 判断一个数列是否为等差数列常有以下方法:(1)定义法:由等差数列的定义,若对nN*,都有an+1-an=d(常数),则数列an为等差数列.常用于已知或可求出通项公式的情形;(2)通项公式法:只要给出形如an=pn+q的关系(p,q为常数),可直接判断数列an为等差数列;(3)等差中项法,若数列对nN*,都有2an+1=an+an+2,则an为等差数列,常用于未知或不能求出通项公式的情形.,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,答案:0 解析:设等差中项为x,2,3,4,5,1,6,4.在等差数列an中,a2=9,a3=7,则公差d= . 答案:-2 解析:d=a3-a2=7-9=-2.,2,3,4,5,1,6,5.已知数列an的通项公式是an=7n+2,求证:数列lg an是等差数列. 证明:设bn=lg an, 则bn+1-bn=lg an+1-lg an=(n+3)lg 7-(n+2)lg 7=lg 7=常数. 所以数列bn是等差数列,即数列lg an是等差数列.,2,3,4,1,6,5,6.若数列an的通项公式为an=10+lg 2n(nN*),求证:数列an为等差数列. 证明:因为an=10+lg 2n=10+nlg 2, 所以an+1=10+(n+1)lg 2. 所以an+1-an=10+(n+1)lg 2-(10+nlg 2) =lg 2(nN*). 所以数列an为等差数列.,
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