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2.2.3 等差数列的前n项和,目标导航,预习引导,目标导航,预习引导,预习交流1 在求等差数列的前n项和时,如何选取两种形式的求和公式?,预习交流2 等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”,此方法主要适用于具备什么特征的数列求和? 提示:主要适用于具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=特征的数列求和.,目标导航,预习引导,2.等差数列前n项和的性质 (1)若Sn为等差数列an的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍然为 等差数列,且公差为n2d. (2)项数为2n(nN*)的等差数列,奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,则S偶-S奇=nd.,目标导航,预习引导,预习交流3 (1)在等差数列an中,已知a1=2,d=2,则S20= . (2)在等差数列an中,S10=120,那么a1+a10的值是 . (3)已知an是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d为 . 提示:(1)420 (2)24 预习交流4 等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为 . 提示:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m构成等差数列且其公差为 d=S2m-2Sm=100-60=40, S3m-S2m=S2m-Sm+40=110.S3m=210.,一,二,三,一、等差数列前n项和公式的应用 活动与探究 例1已知等差数列an. (2)a1=4,S8=172,求a8和d. 思路分析:在等差数列的通项公式与前n项和公式中,含有a1,d,n,an,Sn五个量,只要已知其中的三个量,就可以求出余下的两个量.,一,二,三,一,二,三,迁移与应用 1.已知an是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10= . 答案:100 解析:设该数列公差为d, a2=a1+d,a7=a1+6d,a8=a1+7d. a1+a2=a1+(a1+d)=2a1+d=4. a7+a8=(a1+6d)+(a1+7d)=2a1+13d=28. 联立后解得:a1=1,d=2.,一,二,三,一,二,三,名师点津 1.与等差数列前n项和公式有关的运算.,2.在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,均可化成关于a1,d的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)合理利用等差数列的有关性质.,一,二,三,二、等差数列前n项和性质的应用 活动与探究 例2(1)在等差数列an中,若a5+a10+a13+a16+a21=20,求S25; (2)若等差数列的项数为奇数,且奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数. 思路分析:利用等差数列的性质求解,可以简化计算.,一,二,三,一,二,三,一,二,三,2.项数为奇数的等差数列an中,所有奇数项之和为20,所有偶数项之和为15,求这个数列的项数及中间一项. 解:设该数列有2k+1项, 中间项ak+1=S奇-S偶=5. 又S2k+1=S奇+S偶=(2k+1)ak+1=35, 项数为2k+1=7.,一,二,三,一,二,三,三、等差数列前n项和公式的实际应用 活动与探究 例3沙尘暴是由于土地沙漠化引起的,根据调查,某县2011年已有一定面积的沙漠,以后每年被沙漠化的土地面积相同;该县从2012年起在沙漠上植树,改造沙漠为林地,以后每年都比上一年多植相同面积的树木,据统计,沙漠面积及每年植树面积如下表:,问:到哪一年底可以将所有沙漠改造完?,一,二,三,思路分析:,一,二,三,一,二,三,迁移与应用 1.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:,他们研究过图1中的1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的序号是 . 289 1 024 1 225 1 378,一,二,三,答案: 解析:正方形数即为n2(nN*),又三角形数满足a1=1,a2=3,an-an-1=n,用累加法可得an=1+2+3+ ,经验证可得1 225既是三角形数又是正方形数.,一,二,三,2.为了参加运动会的5 000 m长跑比赛,李强给自己制定了10天的训练计划:第1天跑5 000 m,以后每天比前一天多跑400 m.李强10天将要跑多长的距离? 解:由题意可知,李强每天跑的距离数构成一个等差数列,把李强第1天跑的距离记为a1=5 000,则公差d=400,李强10天跑的距离为该等差数列的前10项和.,一,二,三,名师点津 由实际问题构造数列模型,然后用数列知识求解的一般方法步骤是:(1)认真审题,准确理解题意,弄清题目中的主要已知事项;(2)将实际问题抽象为数列问题,明确所求的结论是什么;(3)将已知与所求联系起来,据题意列出满足题意的数学关系式(函数关系式、方程、不等式);(4)利用数列的有关知识解关系式,结合题目的实际意义写出所求的结论.,2,3,4,5,1,6,1.等差数列an的前n项和为Sn,若S2=2,S4=10,则S6等于( ) A.12 B.18 C.24 D.42 答案:C 解析:易知S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即2,8,S6-10成等差数列,S6=24.,2,3,4,5,1,6,2.一个首项为正数的等差数列中,前3项的和等于前11项的和,当这个数列的前n项和最大时,n等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案:C 解析:由S3=S11及首项为正可知,d0.,2,3,4,5,1,6,3.现有200根相同的钢管,把它们推放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管根数为 . 答案:10 解析:设从上到下第n层的钢管数为an,则由最上一层到第n层的钢管数组成的数列an为等差数列,且公差d=1,a1=1, . 要使剩余的钢管数最少,则用到的钢管数最多. 又S19=190200, 所以堆放19层时,所剩钢管数最少,剩余钢管根数为200-190=10.,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,5.等差数列an中,a10=30,a20=50. (1)求数列的通项公式; (2)若Sn=242,求n.,2,3,4,1,6,5,6.已知an=2n-16,求数列|an|的前n项和.,
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