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第2章 函数,2.1 函数的概念,2.1.1 函数的概念和图象,第1课时 函数的概念,1.函数的概念 定义:一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数. 记法:从A到B的一个函数通常记为y=f(x),xA. 交流1 如何理解符号“y=f(x)”? 提示符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为x是自变量,它是法则所施加的对象;f是对应法则,它可以是一个或几个解析式,也可以是图象、表格或文字描述;y是自变量的函数,当x允许取某一个具体数值时,相应的y值与之对应.“y=f(x)”仅仅是函数符号,还可用“y=g(x)”“y=F(x)”“y=G(x)”等来表示函数关系.,2.函数的定义域、值域 定义域:在函数y=f(x),xA中,所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域. 值域:若A是函数y=f(x)的定义域,则对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应,我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域. 交流2 求下列函数的定义域和值域: 提示(1)定义域:(-,0)(0,+), 值域:(-,0)(0,+); (2)定义域:1,+),值域:3,+).,3.函数的三要素包括函数的定义域、值域和对应法则. 交流3 定义域和值域都相同的函数是同一函数吗? 提示定义域和值域分别相同的两个函数,它们不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.例如,函数y=x+1与y=x-1,其中定义域都是R,值域都是R,也就是说,这两个函数的定义域和值域都分别相同,但它们的对应法则是不同的,因此不能说这两个函数是同一函数.由于值域可以由定义域和对应法则唯一确定,所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数.,典例导学,即时检测,一,二,三,一、函数的概念 下列四组函数中,f(x)与g(x)表示同一函数的是 ( ).(导学号51790028) C.f(x)=1,g(x)=1(x0) D.f(x)=x-1,g(x)=|x-1| 思路分析只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,即定义域不同,两个函数不同;对应法则不同,两个函数也不同. 答案:B,典例导学,即时检测,一,二,三,解析:若两个函数能表示同一个函数,则必须满足:(1)定义域相同;(2)对应法则相同. 对于A,两函数的定义域不同,其中f(x)的定义域为x|xR,g(x)的定义域为x|x0;对于B,定义域、值域和对应法则都相同,所以f(x)与g(x)表示同一函数;对于C,定义域不同,其中f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为x|x0;D的对应法则不同.,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,解(1) 定义域中不含元素0,g(x)=1的定义域为R,所以两个函数的定义域、对应法则均不同.故不是同一函数. (2)f(x)=x0的定义域为x|x0,而g(x)=1的定义域为R,它们的定义域不同,不是同一函数. (3)虽然两个函数的自变量一个用x表示,一个用t表示,但它们的定义域、对应法则相同,所以是同一函数. (4)f(x)的定义域与g(x)的定义域不同,故不是同一函数.,典例导学,即时检测,一,二,三,(1)当一个函数的对应法则和定义域确定后,其值域随之确定,所以两个函数当且仅当定义域和对应法则都相同时,才为同一函数. (2)讨论函数是否为同一函数时,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应法则是否相同,若对应法则不同,也不是同一函数.,典例导学,即时检测,一,二,三,思路分析给定函数时,要指明函数的定义域.对于用解析式表示的函数,如果没有给出定义域,那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合.,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,一般地,求函数的定义域要用到以下结论: (1)解析式是整式的函数,其定义域为R; (2)解析式是分式的函数,其定义域为使分母不为零的实数的集合; (3)解析式是偶次根式的函数,其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合; (4)如果解析式是由实际问题得出的,则其定义域是同时使实际问题和解析式有意义的实数的集合.,典例导学,即时检测,一,二,三,三、求函数的值域 求下列函数的值域: (导学号51790030) (1)y=2x+1,x1,2,3,4; (2)y=1-x2; 思路分析求函数值域就是求函数值的取值集合.根据解析式的不同特点,采用不同的方法来求解,但需注意的是在求值域前一定要求定义域.,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,1.求函数值域的常用方法: (1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到; (2)配方法:此方法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法; (3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域; (4)换元法:即运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域. 2.求值域时应注意的事项: (1)求值域时,一定要注意定义域对值域的影响. (2)在利用换元法求解函数的值域时,一定要注意换元后新元取值范围的变化.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,1.对于函数y=f(x),以下说法中正确的有( ). y是x的函数;对于不同的x,y的值也不同; f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:B 解析:依据函数定义知正确;因为函数可以多个变量对应一个函数值,故错.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,A.2,+) B.2,3) C.(-,3)(3,+) D.2,3)(3,+) 答案:D,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,5.函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3,那么其值域为 . 答案:0,-1,3 解析:分别将定义域中的元素代入求得函数的值域.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,
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