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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 必修5,数 列,第一章,2 等差数列,第一章,第2课时 等差数列的性质,1.等差数列的项与序号的性质 (1)两项关系 通项公式的推广： anam_(m、nN) (2)多项关系 项的运算性质： 若mnpq(m、n、p、qN)， 则_apaq. 特别地，若mn2p(m、n、pN)， 则aman_.,(nm)d,aman,2ap,an1,ank1,d,cd,kd,pd1qd2,1.已知an为等差数列，a2a812，则a5等于( ) A4 B5 C6 D7 答案 C 解析 an为等差数列，a2a82a5， 2a512，a56.,2(2015重庆高考)在等差数列an中，若a24，a42，则a6( ) A1 B0 C1 D6 答案 B 解析 根据题意知a4a2(42)d，易知d1，所以a6a4(64)d0.故选B.,答案 A,答案 A 解析 a4a515， a2a7a4a515， 又a712. a23.,5若2，a，b，c,9成等差数列，则ca_.,运用等差数列性质anam(nm)d (m，nN)解题,分析 本题可用通项公式求解 利用关系式anam(nm)d求解 利用一次函数图像求解 答案 B,方法总结 本题采用了三种方法，第一种方法使用的是方程思想，由已知建立了两个关于首项a1和公差d的等式，通过解方程组，达到解题目的第二种方法使用的是通项公式的推广形式anam(nm)d.第三种方法使用的是函数的思想，通过点(p，ap)，(q，aq)，(pq，apq)共线求得其解，这也是解决本类问题较简便的方法,已知若an为等差数列，a158，a6020，求a75.,在等差数列an中， (1)已知a2a6a20a2448，求a13； (2)已知a2a3a4a534，a2a552，求d； (3)已知a13a8a15120，求3a9a11. 分析 使用等差数列的性质，在等差数列an中，若mnpq，则amanapaq(m、n、p、qN),运用等差数列性质amanapaq (m、n、p、qN，且mnpq)解题,在等差数列an中，若a3a5a7a9a11100，则3a9a13的值为( ) A20 B30 C40 D50 答案 C 解析 a3a5a7a9a11100， 又a3a11a5a92a7，5a7100，a720， 3a9a133(a72d)(a76d) 3a76da76d2a740.,(1)三个数成等差数列，和为6，积为24，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为8，求这四个数 分析 (1)根据三个数的和为6，成等差数列，可设这三个数为ad，a，ad(d为公差)； (2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d),灵活设项求解等差数列问题,解析 设等差数列的等差中项为a，公差为 d，则这 三个数分别为ad，a，ad， 依题意，3a6且a(ad)(ad)24， 所以a2，代入a(ad)(ad)24， 化简得d216，于是d4， 故这三个数为2,2,6或6,2，2.,(2)设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)， 依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8， a1，a29d28， d21，d1或d1. 又四个数成递增等差数列，d0，d1， 故所求的四个数为2,0,2,4.,方法总结 利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算一般的有如下规律：当等差数列an的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：，a2d，ad，a，ad，a2d，；当项数为偶数项时，可设中间两项为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项：，a3d，ad，ad，a3d，这样可减少计算量,已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数,辨析 误解的原因是忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，而当n24时，此时a240.,
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