2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第十章 直线与圆的方程.doc

2019-2020年高中数学竞赛教材讲义 第十章 直线与圆的方程一、基础知识1解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如x2+y2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。2求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。3直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。4直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）两点式：；（6）法线式方程：xcos+ysin=p（其中为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：（其中为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。5到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为，夹角为，则tan=,tan=.6平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。且两者不重合，则l1/l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。7两点P1(x1, y1)与P2(x2, y2)间的距离公式：|P1P2|=。8点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：。9直线系的方程：若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，则过l1, l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2=0；由l1与l2组成的二次曲线方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0().10二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B0，则Ax+By+C0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C0)。其圆心为，半径为。若点P(x0, y0)为圆上一点，则过点P的切线方程为 14根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。二、方法与例题1坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。例1 在ABC中，AB=AC，A=900，过A引中线BD的垂线与BC交于点E，求证：ADB=CDE。证明 见图10-1，以A为原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系。设点B，C坐标分别为（0,2a）,(2a,0)，则点D坐标为（a, 0）。直线BD方程为， 直线BC方程为x+y=2a， 设直线BD和AE的斜率分别为k1, k2，则k1=-2。因为BDAE，所以k1k2=-1.所以，所以直线AE方程为，由解得点E坐标为。所以直线DE斜率为因为k1+k3=0.所以BDC+EDC=1800，即BDA=EDC。例2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为600。证明 以A为原点，平行于正三角形ABC的边BC的直线为x轴，建立直角坐标系见图10-2，设D的半径等于BC边上的高，并且在B能上能下滚动到某位置时与AB，AC的交点分别为E，F，设半径为r，则直线AB，AC的方程分别为,.设D的方程为(x-m)2+y2=r2.设点E，F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则，分别代入并消去y得所以x1, x2是方程4x2-2mx+m2-r2=0的两根。由韦达定理，所以|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2=4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2.所以|EF|=r。所以EDF=600。2到角公式的使用。例3 设双曲线xy=1的两支为C1，C2，正PQR三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。证明 假设P，Q，R在同一支上，不妨设在右侧一支C1上，并设P，Q，R三点的坐标分别为且0x1x2-1，在（1）区域里，求函数f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。解 （1）由已知得或解得点(x, y)所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4.(2) f(x, y)是直线l: y-ax=k在y轴上的截距，直线l与阴影相交，因为a-1，所以它过顶点C时，f(x, y)最大，C点坐标为（-3，7），于是f(x, y)的最大值为3a+7. 如果-12，则l通过B（3，1）时，f(x, y)取最小值为-3a+1.6参数方程的应用。例7 如图10-5所示，过原点引直线交圆x2+(y-1)2=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。解 设直线OP的参数方程为（t参数）。代入已知圆的方程得t2-t2sin=0.所以t=0或t=2sin。所以|OQ|=2|sin|，而|OP|=t.所以|PQ|=|t-2sin|，而|PM|=|2-tsin|.所以|t-2sin|=|2-tsin|. 化简得t=2或t=-2或sin=-1.当t=2时，轨迹方程为x2+y2=4；当sin=1时，轨迹方程为x=0.7与圆有关的问题。例8 点A，B，C依次在直线l上，且AB=ABC，过C作l的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，AB为半径作圆，MT1与MT2是这个圆的切线，确定AT1T2垂心 的轨迹。解 见图10-6，以A为原点，直线AB为x轴建立坐标系，H为OM与圆的交点，N为T1T2与OM的交点，记BC=1。以A为圆心的圆方程为x2+y2=16，连结OT1，OT2。因为OT2MT2，T1HMT2，所以OT2/HT1，同理OT1/HT2，又OT1=OT2，所以OT1HT2是菱形。所以2ON=OH。又因为OMT1T2，OT1MT1，所以ONOM。设点H坐标为（x,y）。点M坐标为(5, b)，则点N坐标为，将坐标代入=ONOM，再由得在AB上取点K，使AK=AB，所求轨迹是以K为圆心，AK为半径的圆。例9 已知圆x2+y2=1和直线y=2x+m相交于A，B，且OA，OB与x轴正方向所成的角是和，见图10-7，求证：sin(+)是定值。证明 过D作ODAB于D。则直线OD的倾斜角为，因为ODAB，所以2,所以。所以例10 已知O是单位圆，正方形ABCD的一边AB是O的弦，试确定|OD|的最大值、最小值。解 以单位圆的圆心为原点，AB的中垂线为x轴建立直角坐标系，设点A，B的坐标分别为A(cos,sin),B(cos,-sin)，由题设|AD|=|AB|=2sin，这里不妨设A在x轴上方，则(0,).由对称性可设点D在点A的右侧（否则将整个图形关于y轴作对称即可），从而点D坐标为(cos+2sin,sin)，所以|OD|=因为，所以当时，|OD|max=+1；当时，|OD|min=例11 当m变化且m0时，求证：圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。证明 由消去m得a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线x-2y+1=0上。设公切线方程为y=kx+b，则由相切有2|m|=，对一切m0成立。即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0对一切m0成立所以即当k不存在时直线为x=1。所以公切线方程y=和x=1.三、基础训练题1已知两点A(-3,4)和B(3,2)，过点P(2,-1)的直线与线段AB有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是_.2已知0,，则的取值范围是_.3三条直线2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0围成一个三角形，当点P(x, y)在此三角形边上或内部运动时，2x+y的取值范围是_.4若三条直线4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能围成三角形，则m的范围是_.5若R。直线(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0与点P(-2,2)的距离为d，比较大小：d_.6一圆经过A(4,2), B(-1,3)两点，且在两个坐标轴上的 四个截距的和为14，则此圆的方程为_.7自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，则光线l所在的方程为_.8D2=4F且E0是圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切的_条件.9方程|x|-1=表示的曲线是_.10已知点M到点A（1，0），B（a,2）及到y轴的距离都相等，若这样的点M恰好有一个，则a可能值的个数为_.11已知函数S=x+y，变量x, y满足条件y2-2x0和2x+y2，试求S的最大值和最小值。12A，B是x轴正半轴上两点，OA=a，OB=b(a0,N=(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a0.MN，a的最大值与最小值的和是_.6圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P，Q两点，O为原点，OPOQ，则m=_.7已知对于圆x2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y)，使x+y+m0恒成立，m范围是_.8当a为不等于1的任何实数时，圆x2-2ax+y2+2(a-2)y+2=0均与直线l相切，则直线l的方程为_.9在ABC中，三个内角A，B，C所对应的边分别为a,b,c，若lgsinA,lgsinB, lgsinC成等差数列，那么直线xsin2A+ysinA=a与直线xsin2B+ysinC=c的位置关系是_.10设A=(x,y)|0x2,0y2,B=(x,y)|x10,y2,yx-4是坐标平面xOy上的点集，C=所围成图形的面积是_.11求圆C1：x2+y2+2x+6y+9=0与圆C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切线方程。12设集合L=直线l与直线y=2x相交，且以交点的横坐标为斜率。（1）点(-2,2)到L中的哪条直线的距离最小？（2）设aR+，点P(-2, a)到L中的直线的距离的最小值设为dmin，求dmin的表达式。13已知圆C：x2+y2-6x-8y=0和x轴交于原点O和定点A，点B是动点，且OBA=900，OB交C于M，AB交C于N。求MN的中点P的轨迹。五、联赛一试水平训练题1在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若a为无理数，过点(a,0)的所有直线中，每条直线上至少存在两个有理点的直线有_条。2等腰ABC的底边BC在直线x+y=0上，顶点A(2,3)，如果它的一腰平行于直线x-4y+2=0，则另一腰AC所在的直线方程为_.3若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0表示表示条互相垂直的直线，则m=_.4直线x+7y-5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值是_.5直线y=kx-1与曲线y=有交点，则k的取值范围是_.6经过点A(0,5)且与直线x-2y=0, 2x+y=0都相切的圆方程为_.7在直角坐标平面上，同时满足条件：y3x, yx, x+y100的整点个数是_.8平面上的整点到直线的距离中的最小值是_.9y=lg(10-mx2)的定义域为R，直线y=xsin(arctanm)+10的倾斜角为_.10已知f(x)=x2-6x+5，满足的点(x,y)构成图形的面积为_.11已知在ABC边上作匀速运动的点D，E，F，在t=0时分别从A，B，C出发，各以一定速度向B，C，A前进，当时刻t=1时，分别到达B，C，A。（1）证明：运动过程中DEF的重心不变；（2）当DEF面积取得最小值时，其值是ABC面积的多少倍？12已知矩形ABCD，点C(4,4)，点A在圆O：x2+y2=9(x0,y0)上移动，且AB，AD两边始终分别平行于x轴、y轴。求矩形ABCD面积的最小值，以及取得最小值时点A的坐标。13已知直线l: y=x+b和圆C：x2+y2+2y=0相交于不同两点A，B，点P在直线l上，且满足|PA|PB|=2,当b变化时，求点P的轨迹方程。六、联赛二试水平训练题1设点P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20上任意一点，求x2-xy+y2的最大值、最小值。2给定矩形（长为b，宽为a），矩形（长为c、宽为d），其中adcb，求证：矩形能够放入矩形的充要条件是：(ac-bd)2+(ad-bc)2(a2-b2)2.3在直角坐标平面内给定凸五边形ABCDE，它的顶点都是整点，求证：见图10-8，A1，B1，C1，D1，E1构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。4在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，试证：存在一个同心圆的集合，使得：（1）每个整点都在此集合的某一圆周上；（2）此集合的每个圆周上，有且只有一个整点。5在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线l1,l2,，ln，的直线族，它满足条件：（1）点（1,1）ln,n=1,2,3,；（2）kn+1an-bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，n=1,2,3,；（3）knkn+10, n=1,2,3,.并证明你的结论。6在坐标平面内，一圆交x轴正半径于R，S，过原点的直线l1,l2都与此圆相交，l1交圆于A，B，l2交圆于D，C，直线AC，BD分别交x轴正半轴于P，Q，求证：来源：