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2019-2020年高中数学奥赛系列辅导资料竞赛中的三角函数立体选讲教案【内容综述】一三角函数的性质1正,余弦函数的有界性对任意角,2奇偶性与图象的对称性正弦函数,正切函数和余切函数都是奇函数,它们的图象关于原点对称,并且y=sinx的图象还关于直线对称:余弦函数是偶函数,从而y=cosx的图象关于y轴对称,并且其图象还关于直线对称3单调性y=sinx在上单调递增,在上单调递减:y=cosx在上单调递增,在上单调递减;y=tanx在上都是单调递增的;y=cotx在上都是单调递减的。4周期性y=sinx与y=cosx的最小正周期是2,y=tanx与y=cosxr 的最小正周期是。【例题分析】 例1 已知圆至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点,求实数k的取值范围。解 因为是一个奇函数,其图象关于原点对称,而圆也关于原点对称,所以,图只需覆盖的一个最值点即可。令,可解得的图象上距原点最近的一个最大值点,依题意,此点到原点的距离不超过|k|,即综上可知,所求的K 为满足的一切实数。例2 已知,且求 cos(x+2y)的值。解 原方程组可化为因为所以令 ,则在上是单调递增的,于是由得 f(x)=f(-2y)得 x=-2y即 x+2y=0例3 求出(并予以证明)函数解 首先,对任意,均有这表明,是函数f(x)的一个周期其次,设,T是f(x)的一个周期,则对任意,均有在上式中,令x=0,则有。两边平方,可知即 sin2T=0,这表明,矛盾。综上可知,函数的最小正周期为。例3 求证:在区间内存在唯一的两个数,使得sin(cosc)=c, cos(sind)=d证,构造函数f(x)=cos(sinx)-xf(x)在区间内是单调递减的,由于f(0)=cos(sin0)-0=10.故存在唯一的,使f(d)=0,即cos(sind)=d对上述两边取正弦,并令c=sind,有sin(cos(sind)=sindsin(cosc)=c显然,由于y=sinx在是单调递增的,且d是唯一的,所以c也是唯一的,且例4 已知对任意实数x,均有求证:证 首先,f(x)可以写成其中是常数,且,在式中,分别令和得+,得又在式中分别令,得由+,得【能力训练】(A组)1求函数的单调递增区间2已知是偶函数,求3设,试比较的大小。4证明:对所以实数x,y,均有5已知为偶函数,且t满足不等式,求t的值。(B组)6已知,且满足:(1);(2);(3)。求f(x)的解析式7证明:对任意正实数x,y以及实数均有不等式8已知当时,不等式恒成立,求的取值范围。9设,求乘积的最大值和最小值。参考答案【能力训练】A组12由偶函数的定义,有上式对任意成立,故所以3首先,又,即4只需证明不能同时成立,若不然,则存在整数m,n,k,使得即 矛盾5由题设,得即 由于上式对任意x成立,故sint=1,结合,即-1t0时,有此方程组与联立后无解(2)当且b0且有此方程组与联立后无解。(4)当a0且,有此方程组与联立后无解,得上可知,。7原不等式等价于若,则若故原不等式成立8令,由条件可得所以在第I象限,原不等式可化为由于结合原不等式对任意x0,1都成立,可知取最小值亦成立,即9由条件知,于是
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