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2019-2020年高中数学 基本不等式的证明(2)教案 苏教版必修5【三维目标】:一、知识与技能1.进一步掌握基本不等式;2.学会推导并掌握均值不等式定理;3.会运用基本不等式求某些函数的最值,求最值时注意一正二定三相等。4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题;基本不等式在证明题和求最值方面的应用。二、过程与方法通过几个例题的研究,进一步掌握基本不等式,并会用此定理求某些函数的最大、最小值。三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点与难点】:重点:均值不等式定理的证明及应用。难点:等号成立的条件及解题中的转化技巧。【学法与教学用具】:1. 学法:2. 教学用具:多媒体、实物投影仪.【授课类型】:新授课【课时安排】:1课时【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题1重要不等式:如果2基本不等式:如果,是正数,那么我们称的算术平均数,称的几何平均数,成立的条件是不同的:前者只要求,都是实数,而后者要求,都是正数。 二、研探新知最值定理:已知都是正数, 如果积是定值,那么当时,和有最小值;如果和是定值,那么当时,积有最大值证明:, ,当 (定值)时, ,上式当时取“”, 当时有;当 (定值)时, ,上式当时取“”当时有说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件:最值的含义(“”取最小值,“”取最大值); 用基本不等式求最值的必须具备的三个条件:一“正”、二“定”、三“相等”。函数式中各项必须都是正数;函数式中含变数的各项的和或积必须是常数;三、质疑答辩,排难解惑,发展思维 例1 (1)求 的最值,并求取最值时的的值。解: ,于是,当且仅当,即时,等号成立,的最小值是,此时(2)若上题改成,结果将如何?解: ,于是,从而,的最大值是,此时例2 (1)求的最大值,并求取时的的值。(2)求的最大值,并求取最大值时的值解:,则,当且仅当,即时取等号。当时,取得最大值4。例3 若,求的最小值。解:,当且仅当,即时取等号,当时,取最小值例4 求下列函数的值域:(1);(2)归纳:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行:(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案.四、巩固深化,反馈矫正 1已知,求的最大值,并求相应的值。2已知,求的最大值,并求相应的值。3已知,求函数的最大值,并求相应的值。4已知求的最小值,并求相应的值五、归纳整理,整体认识1用基本不等式求最值的必须具备的三个条件:一“正”、二“定”、三“相等”,当给出的函数式不具备条件时,往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解;2运用基本不等式求最值常用的变形方法有:(1)运用拆分和配凑的方法变成和式和积式;(2)配凑出和为定值;(3)配凑出积为定值;(4)将限制条件整体代入。一般说来,和式形式存在最小值,凑积为常数;积的形式存在最大值,凑和为常数,要注意定理及变形的应用。 六、承上启下,留下悬念 七、板书设计(略)八、课后记:
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