2019-2020年高三数学 等差数列及其前n项和导学案.doc

2019-2020 年高三数学 等差数列及其前 n 项和导学案 【学习目标】 理解等差数列的概念； 探索并掌握等差数列的通项公式与前项和公式； 体会等差数列通项公式与一次函数的关系；等差数列前项和公式与二次函数的关系； 掌握等差数列的一些基本性质； 【自主学习】 1.要点梳理 1、等差数列的定义 如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做 等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示。 2、等差数列的通项公式 若等差数列的首项为，公差是，则其通项公式为 ;掌握公式的推导方法 3、等差中项 如果三个数成 ，则叫做和的等差中项，且有= 4、等差数列的前项和公式 = = （二次型）;掌握公式的推导方法 5、等差数列的判定方法 （1）定义法： 是等差数列 （2）等差中项： 是等差数列 （3）通项公式法： 是等差数列 （4）前项和法： 是等差数列 6、等差数列的性质 (1)通项公式的推广： （2）若是等差数列，且 Nnmlklk,，则 （3）若是等差数列 ，公差为，则也是等差数列，公差为 （4）若是等差数列 ，则 akk,2 组成公差为 的等差数列。 （5）若、是等差数列 ，则是 7、 等差数列与等差数列各项和有关的性质 （1）若是等差数列，则也成 数列，其首项与首项相同，公差是公差的 （2）分别是的前项，前项，前项的和， 成等差数列 ，公差为 （3）若项数为偶数的等差数列有 1212 nnnaaS ； ， （4 若项数为奇数的等差数列有 中,； ， ， （5）若、是等差数列 ，设其前项和分别为 ，则 （6）是等差数列若有 值，何时取最值可由不等式组或关于的二次函数的对称 轴来确定。 若有 值，何时取最值可由不等式组或关于的二次函数的对称轴来确定。 （7）等差数列中，若 Nnmanm, ，则 等差数列中，若 S,，则 等差数列中，若 n ，则 8、常用的方法与技巧 （1）三数成等差数列的设法：、 、 ，为公差。 四数成等差数列的设法：、 、 、 ，公差 。 （2）会用方程的思想处理等差数列的有关问题：等差数列的通项公式和前项和公式涉及 五个量：， “知三求二” ，同时还应注意整体代换。 2、基础自测 1、等差数列的前项和为，若，则 （ ） A、12 B、10 C、8 D、6 2、等差数列中，已知 3,4,3152naa，则为（ ） A、48 B、49 C、50 D、51 3、首项为-24 的等差数列，从第十项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 4、一个有限项的等差数列，它的前 5 项和为 34,最后 5 项和为 146，所有项和为 234，则 它的第七项等于（ ） A、22 B、21 C、 19 D、18 5、设等差数列、 ，其前项和分别为 ，若对任意的自然数都有，则的值为 【典例分析】 等差数列的基本运算等差数列的基本运算 例 1、设是一个公差为的等差数列，它的前 10 项和且成等比数列。 （1）证明； （2）求公差的值和数列的通项公式。 例 2、（xx 安徽卷文）已知为等差数列， ，则等于（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D.7 例 3、 （四川文 7）等差数列 an中， a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（ ） A9 B10 C11 D12 例 4、(xx 全国卷理)已知等差数列满足， ，则它的前 10 项的和（ ） A138 B135 C95 D23 练习： 1、等差数列的前项和为，已知。 （1）求通项及前项和； （2）若，求。 2、在等差数列中， ，则=（ ） A、 24 B、 22 C、 20 D、-8 3、一个等差数列的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为 4、 （xx 福建卷理）等差数列的前 n 项和为，且 =6，=4， 则公差 d 等于（ ）A B C.- 2 D 3 5、 （xx 宁夏海南卷理）等比数列的前 n 项和为，且 4，2，成等差列。若=1，则=（ ） （A）7 （B）8 （3）15 （4）16 6、xx 宁夏海南卷理）等差数列前 n 项和为。已知+-=0，=38,则 m=_ 7、(xx 海南、宁夏文)已知a n为等差数列，a 3 + a8 = 22，a 6 = 7，则 a5 = _ 8、已知等差数列中， ，前 10 项和。 （1）求数列的通项公式； （2）若从数列中依次取出第 2，4，8， ，项，按原来的顺序排列成一个 新的数列，试求新的数列的前项和 9、等差数列的前项和为，若，则 ；一般地，若，则 10、设是公差为正数的等差数列，若 80,1532321aa，则等于（ ） A、 120 B、 105 C、 90 D、75 10、下表给出一个“等差数阵”： 4 7 （ ） （ ） （ ） 7 12 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数。 （1）写出的值； （2）写出的计算公式，以及 xx 这个数在等差数阵中所在的一个位置。 11、已知，数列的前项和为，点在曲线上，且， （1）求数列的通项公式 （2）数列的首项，前项和为，且 3816221naTn，求数列 的通项公式 等差数列的判定等差数列的判定 例 5、已知数列的前项和为，且满足 21,021anSan 。 （1）求证：是等差数列； （2） 求的表达式。 练习： 1、已知数列满足，令，求证：数列 是等差数列。 2、数列满足，又，则使得为等差数列的实数 3、设实数，且函数 axaxf 122有最小值，若数列的前项和，令 ,3,242nbn ，求证：数列是等差数列。 等差数列的性质等差数列的性质 例 6、 （1）设等差数列的前项和为，已知前 6 项和为 36,，最后 6 项和为 180，求数列的项数 及； （2）等差数列、设其前项和分别为 ，且，求的值。 （3）若，则 ； （4）若项数为奇数，且奇数项和为 44，偶数项和为 33，求数列的中间项及项数。 练习： 1、等差数列中， ，则 2、已知等差数列的前项和为为 377，项数为奇数，且前项奇数项和与偶数项和之比为:6，则 中间项为 3、等差数列中，已知 240),9(30,1849 nnSaS，则= 4、设是等差数列的前项和，已知，则等于（ ） A、13 B、35 C、 49 D、63 5、在各项均不为零的等差数列中，若，则（ ） A、-2 B、 0 C、 1 D、2 6、如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ） A、 B、 C、 D、 7、等差数列的奇数项和为 216，偶数项和为 192，首项为 1，项数为奇数，求此数列的末和 通项公式。 8、等差数列中，其前项和为， 20527,081 Sa，则的值为 9、 等差数列的公差为 2，若，则的值为 10、设是等差数列的前项和，若，则等于（ ） A、 B、 C、 D、 11、 已知两个等差数列、 ，其前项和分别为 ，且，则使得 为正整数的个数是（ ） 。 A、 2 B、 3 C、4 D、5 等差数列的前项和的最值问题等差数列的前项和的最值问题 例 7、在等差数列中，已知，前项和为，且，求当取何值时， 取得最大值，并求出它的最大 值。 练习： 1、已知数列， （1）求证：是等差数列； （2）若，求数列的前项和为的最小值。 2、设等差数列的前项和为已知。 （1）求公差的取值范围； （2）中哪一个值最大？并说明理由。 3、在等差数列中，其前项和为，若，则在， ，中最大的是（ ） A、 B、 C、 D、 4、在等差数列中， ，且，若的前项和为，则的最大值是（ ） A、17 B、 18 C、 19 D、20 5、(xx 四川理)设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_。 6、已知是一个等差数列，且。 （1）求的通项公式 （2）求的前项和为的最大值