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2019-2020年高中数学 3.2 立体几何中的向量方法教案 北师大版选修2-1利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤,而转化为向量间的计算问题例如图,已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别是AB、AD的中点,GC平面ABCD,且GC2,求点B到平面EFG的距离分析:由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直,可以由此建立空间直角坐标系用向量法求解,就是求出过B且垂直于平面EFG的向量,它的长即为点B到平面EFG的距离解:如图,设4i,4j,2k,以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系Cxyz由题设C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0),D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2), ,设平面EFG,M为垂足,则M、G、E、F四点共面,由共面向量定理知,存在实数a、b、c,使得,(2a+4b,2b4c,2c)由平面EFG,得,于是,整理得:,解得(2a+4b,2b4c,2c)故点B到平面EFG的距离为说明:用向量法求点到平面的距离,常常不必作出垂线段,只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了例2已知正方体ABCD的棱长为1,求直线与AC的距离分析:设异面直线、AC的公垂线是直线l,则线段在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段,所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解解:如图,设i,j,k,以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系xyz,则有,设n是直线l方向上的单位向量,则n,n,解得或取n,则向量在直线l上的投影为n由两个向量的数量积的几何意义知,直线与AC的距离为
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