2019-2020年高考数学一轮复习 4.3 函数模型及其应用教案 新课标.doc

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2019-2020年高考数学一轮复习 4.3 函数模型及其应用教案 新课标知识归纳1求解函数应用问题的思路和方法2函数建模的基本流程误区警示 求解函数应用题时,关键环节是审题,审题时:一要弄清问题的实际背景,注意隐含条件;二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语 言,用数学表达式加以表示;三是弄清给出什么条件,解决什么问题,通 过何种数学模型加以解决;四是严格按各种数学模型的要求进行推理运 算,并对运算结果作出实际解释3常见函数模型的理解 (1)一次函数模型(其增长特点是直线上升(的系数),通过图象可很直观地认识它)、 二次函数型、正反比例函数型(2)指数函数模型:能用指数型函数表达的函数模型,其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,常形象地称之为“指数爆炸”。(3)对数函数模型:能用对数函数表达式表达的函数模型,其增长特点是开始阶段增长得较快,但随着的逐渐增大,其函数值变化越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”。(4)幂函数模型:能用幂函数表示表达的函数模型,其增长情况随中的取值变化而定,常见的有二次函数模型。(5)分式(“勾”) 函数模型:形如的函数模型,在现实生活中有着广泛的应用,常利用“基本不等式”解决,有时通过利用导数研究其单调性来求最值。四典例解析题型1:正比例、反比例、一次函数型和二次函数型例1某种商品原来定价为每件a元时,每天可售出m件,现在把定价降低x个百分点(即x)后,售出数量增加了y个百分点,且每天的销售额是原来的k倍。(1) 设y=nx,其中n是大于1的常数,试将k写成x的函数;(2) 求销售额最大时x的值(结果可用喊n的式子表示);(3) 当n2时,要使销售额比原来有所增加,求x的取值范围。解:(1)依题意有a(1-x%)m(1+y%)=kam,将y=nx代入,化简得 (2)由(1)知当时,k值最大。因为销售额为amk,所以此时销售额也最大,且销售额最大为元。(3)当n=2时,要使销售额有所增加,需k1,所以0,故x(0,50),这就是说,当销售额有所增加时,降价幅度的范围需要在原价的一半以内。题型2:分段函数型例2某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元。(I)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?(II)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数的表达式;(III)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本)解题思路根据题意及“工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本”建立函数模型进行求解【解析】(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元,一次订购量为个,则。因此,当一次定购量为550个时,零件的实际出厂单价恰降为51元。(2)当时,P60;当时,;当时,P51。所以(3)设销售商的一次订购量为个时,该厂获得的利润为L元,则,当时,L6000;当时,L11000。故当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是11000元名师指引求解数学应用题必须突破三关:(1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解其意义(2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题(3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型题型3:指数、对数型函数例3按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y岁存期x变化的函数式,如果存入本金1000元,每期利率2.25,试计算5期后的本利和是多少?解:已知本金为a元,1期后的本利和为y1=aara(1+r),2期后的的本利和为y2=a(1+r)2,。x期后的本利和为:y=a(1+r)x,将a=1000,r=2.25%,x=5代入得y=1000(12.25)5用计算器可得y=1117.68(元)点评:对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识,来对事件进行合理的解析。题型4:分式(不等式)型例4对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 为, 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是, 其中是该物体初次清洗后的清洁度.。()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; ()若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.解析:()设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.由得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程: 解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3.因为当,故方案乙的用水量较少.(II)设初次与第二次清洗的用水量分别为与,类似(I)得,(*)于是+当为定值时,当且仅当时等号成立.此时将代入(*)式得故时总用水量最少,此时第一次与第二次用水量分别为, 最少总用水量是.当,故T()是增函数,这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.点评:该题建立了函数解析式后,通过基本不等式“”解释了函数的最值情况,而解决了实际问题。该问题也可以用二次函数的单调性判断。五思维总结1将实际问题转化为函数模型,比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。2怎样选择数学模型分析解决实际问题数学应用问题形式多样,解法灵活。在应用题的各种题型中,有这样一类题型:信息由表格数据的形式给出,要求对数据进行合理的转化处理,建立数学模型,解答有关的实际问题。解答此类题型主要有如下三种方法:(1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解;(2)列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较;(3)描点观察法:若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决。下面举例进行说明。六:作业 走向高考课后练习1某地区上年度电价为0.8元/(千瓦时),年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元(千瓦时)至0.75元(千瓦时)之间,而用户期望电价为0.4元(千瓦时).经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元(千瓦时).(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;(2)设k0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?注:收益实际用电量(实际电价成本价)解题思路先根据题意写出收益y与实际电价x的函数关系式,然后再列出不等式求解解析 (1)设下调后的电价为x元(千瓦时),依题意知用电量增至a,电力部门的收益为y(a)(x0.3)(0.55x0.75).(2)依题意有整理得解此不等式得0.60x0.75.答:当电价最低定为0.60元(千瓦时)时,仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.2运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米路程, 按交通法规限制50x100 (单位: 千米/小时). 假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油升, 司机的工资是每小时14元.()求这次行车总费用y关于y的表达式;()当为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值(精确到小数点后两位,)解题思路根据题意建立y与x的函数关系,然后再求y的最小值()设行车所用时间为 所以,这次行车总费用关于的表达式是: (或:) (),当且仅当时,上述不等式中等号成立 答:当约为56.88km/h时,这次行车的总费用最低,最低费用的值约为82.16元. 3某厂家拟在xx年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件。已知xx年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用)。 (1)将xx年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家xx的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 解:(1)由题意可知,当, 每件产品的销售价格为(元), (2), (万元)时,(万元)。所以该厂家xx年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大值为21万元。
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