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第3节 空间点、直线、平面的位置关系,知识链条完善,考点专项突破,易混易错辨析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.分别在两个平面内的直线就是异面直线吗? 提示:不是.异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线,指的是找不出一个平面同时经过这两条直线,分别在两个平面内的直线可以平行、异面或相交. 2.空间直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些? 提示:直线与平面的位置关系有:相交、平行、在平面内. 平面与平面的位置关系有:平行、相交.,知识梳理,1.平面的基本性质及相关公(定)理,mn,相等,或互补,2.空间中点、线、面之间的位置关系,3.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aa,b b,把a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角);,锐角(或直角),【重要结论】 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线.,夯基自测,1.(2013高考安徽卷)在下列命题中,不是公理的是( ) (A)平行于同一个平面的两个平面相互平行 (B)过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 (C)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 (D)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,解析:依据面面平行的判定定理知,A项不是公理,故选A.,A,2.下列命题中,正确命题的个数是( ) 平行于同一直线的两直线平行;垂直于同一直线的两直线平行;一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;若直线a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若直线a,b与c成等角,则ab. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,解析:由平行公理知正确;不正确,也可能相交或异面;不正确,也可能异面;不正确,a与c不一定相交;不正确,a与b也可能相交或异面.,B,3.若直线l不平行于平面,且l,则( ) (A)内的所有直线与l异面 (B)内不存在与l平行的直线 (C)内存在唯一的直线与l平行 (D)内的直线与l都相交,解析:l与平面相交,则内不存在与l平行的直线.,B,B,5.若直线ab,且直线a平面,则直线b与平面的位置关系是 .,答案:b与相交或b或b,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,平面的基本性质及应用,【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证: (1)E,C,D1,F四点共面;,(2)CE,D1F,DA三线共点.,证明：(2)因为EFCD1,EFCD1, 所以CE与D1F必相交, 设交点为P, 则由PCE,CE平面ABCD, 得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1=DA, 所以P直线DA, 所以CE,D1F,DA三线共点.,反思归纳 (1)证明点共面或线共面的常用方法 直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面. 同一法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. 辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合. (2)证明空间点共线问题的方法 公理法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上. 同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. (3)证明三线共点的方法 先选取两线交于一点,再证明该点在第三条线上即可.,(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?,考点二,空间两直线的位置关系,【例2】 如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中, GH与EF平行; BD与MN为异面直线; GH与MN成60角; DE与MN垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是 .,答案:,反思归纳,(1)空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,常常利用线面垂直的性质来解决. (2)解决位置关系问题时,要注意几何模型的选取,如利用正(长)方体模型来解决问题.,【即时训练】 若直线l1与l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是( ) (A)l与l1,l2都不相交 (B)l与l1,l2都相交 (C)l至多与l1,l2中的一条相交 (D)l至少与l1,l2中的一条相交,解析:可用反证法.假设l与l1,l2都不相交,因为l与l1都在平面内,于是ll1,同理ll2,于是l1l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.故选D.,异面直线所成的角的问题,考点三,考查角度1:由几何体的结构特征计算其中异面直线所成的角. 高考扫描:2014高考新课标全国卷,【例3】 (2015高考浙江卷)如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD= BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是 .,反思归纳,(1)求异面直线所成角的常用方法及类型 常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点、空间某特殊点)作平行线平移; 补形平移. (2)求异面直线所成角的三个步骤 作:通过作平行线,得到相交直线. 证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角. 求:通过解三角形,求出该角.,反思归纳,计算由三视图或平面图形折叠得到几何体中异面直线所成角的思路 (1)准确作出直观图. (2)在直观图中作出异面直线所成的角,进而求解.,备选例题,【例1】 (2015济宁一模)直线l1,l2平行的一个充分条件是( ) (A)l1,l2都平行于同一个平面 (B)l1,l2与同一个平面所成的角相等 (C)l1平行于l2所在的平面 (D)l1,l2都垂直于同一个平面,解析:对A,当l1,l2都平行于同一个平面时,l1与l2可能平行、相交或异面;对B,当l1,l2与同一个平面所成的角相等时,l1与l2可能平行、相交或异面;对C,l1与l2可能平行,也可能异面,只有D满足要求.故选D.,【例2】 三棱柱ABC-A1B1C1中,若BAC=90,AB=AC=AA1,AA1平面ABC, 则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) (A)30 (B)45 (C)60 (D)90,【例3】 如图所示,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,BAC=60,PA=AB= AC=2,E是PC的中点. (1)求证AE与PB是异面直线;,(1)证明:假设AE与PB共面,设平面为, 因为A,B,E, 所以平面即为平面ABE, 所以P平面ABE, 这与P平面ABE矛盾, 所以AE与PB是异面直线.,(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值.,易混易错辨析 用心练就一双慧眼,借助正方体判定线面位置关系,【典例】下列命题正确的是( ) (A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 (B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 (C)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 (D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行,解析:若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线不一定平行,还有可能相交,也可能异面,故A错. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面可能平行,也可能相交,故B错. 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可能平行,也可能垂直.故D错.正确的只有C.故选C.,易错提醒:(1)盲目和平面内平行线的判定定理类比,从而误选A. (2)不会利用正方体作出判断,考虑问题不全面,从而误选B或D.,
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