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第3节 函数的奇偶性与周期性,知识链条完善,考点专项突破,经典考题研析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的函数一定是奇函数、偶函数吗?反之,成立吗? 提示:一定是.反之,也成立. 2.如果函数f(x)是奇函数,那么是否一定有f(0)=0? 提示:只有在x=0处有定义的奇函数,才有f(0)=0. 3.周期函数y=f(x)(xR)的周期唯一吗? 提示:不唯一.若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).,知识梳理,1.奇函数、偶函数的概念及图象特征,2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,原点,任意,原点,y轴,f(x+T)=f(x),存在一个最小,【重要结论】 1.奇偶性的五个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,xD,其中定义域D是关于原点对称的非空数集. (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数; 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.,2.周期性的三个常用结论 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有: (1)f(x+a)=-f(x)(a0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;,3.对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称; (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称; (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.,夯基自测,D,B,3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2,解析:因为f(x+4)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数. 所以f(8)=f(0), 又函数f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(8)=f(0)=0.,B,4.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x(0,+)时,f(x)=lg x,则满足f(x)0的x的取值范围是 .,解析:画草图,由f(x)为奇函数知f(x)0的x的取值范围为(-1,0)(1,+).,答案: (-1,0)(1,+),考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,函数奇偶性的判定,(3)易知函数的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称. 当x0,故f(-x)=x2-x=f(x); 当x0时,-x0,故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.,反思归纳 判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法: 确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称,再验证f(-x)=f(x)或其等价形式f(-x)f(x)=0是否成立.,(2)图象法:,提醒:分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断.,(3)f(x)的定义域为R,关于原点对称, 当x0时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当x0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时,f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数.,考点二,函数周期性的应用,答案: (1)A,答案: (2)2.5,反思归纳,(1)判断函数周期性的两个方法 定义法.图象法. (2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质. (3)函数周期性的重要应用 利用函数的周期性,可将其他区间上的求值,求零点个数,求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,进而求解.,解析：(2)因为f(x)是最小正周期为2的周期函数,且0x2时, f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1), 所以当0x2时,f(x)=0有两个根,即x1=0,x2=1. 由周期函数的性质知,当2x4时,f(x)=0有两个根,即x3=2,x4=3;当4x6时,f(x)=0有两个根, 即x5=4,x6=5;x7=6也是f(x)=0的根. 故函数f(x)的图象在区间0,6上与x轴交点的个数为7.故选B.,(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0x2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9,函数奇偶性的应用,考点三,【例3】 (1)(2014高考湖南卷)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3,解析: (1)用“-x”代替“x”,得f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2+1,化简得f(x)+g(x)=-x3+x2+1,令x=1,得f(1)+g(1)=1,故选C.,答案:(1)C,(3)由已知f(x)在0,+)上为增函数,且f(a)=f(|a|), 所以f(a)f(2)f(|a|)f(2), 所以|a|2,即a2或a-2.,答案: (2)1 (3)a|a2或a-2,反思归纳,函数奇偶性应用的常见题型及求解策略,答案: (1)A,函数性质的综合应用,考点四,考查角度1:函数的单调性与奇偶性相结合问题. 高考扫描:2014高考新课标全国卷,2011高考全国卷 【例4】 已知定义在R上的奇函数满足f(x)=x2+2x(x0),若f(3-a2)f(2a),则实数a的取值范围是 .,解析：当x0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1, 所以函数f(x)在0,+)上为增函数. 又函数f(x)是定义在R上的奇函数, 所以函数f(x)在R上是增函数. 由f(3-a2)f(2a)得3-a22a. 解得-3a1.,答案:(-3,1),反思归纳,函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.,反思归纳,周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.,考查角度3:函数的奇偶性与对称性相结合问题. 【例6】 (2014高考新课标全国卷)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= .,解析:因为f(x)的图象关于直线x=2对称, 所以f(2+1)=f(2-1),即f(1)=f(3)=3, 又函数y=f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1)=3.,答案:3,反思归纳,(1)若函数f(x)的图象关于直线x=a和直线x=b(ab)对称,则函数f(x)必为周期函数,2(a-b)是它的一个周期; (2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)(ab)对称,则函数f(x)必为周期函数,2(a-b)是它的一个周期.,考查角度4:函数的奇偶性、周期性、单调性相结合问题. 【例7】 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,则( ) (A)f(-25)f(11)f(80) (B)f(80)f(11)f(-25) (C)f(11)f(80)f(-25) (D)f(-25)f(80)f(11),解析:因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x), 所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0), f(11)=f(3). 由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)= -f(-1)=f(1). 因为f(x)在区间0,2上是增函数,f(x)在R上是奇函数, 所以f(x)在区间-2,2上是增函数, 所以f(-1)f(0)f(1),即f(-25)f(80)f(11). 故选D.,反思归纳,周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化所求区间为自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.,备选例题,答案:x|x-2或0x2,解析:对于,f(x+2)=-f(x+1)=-f(x)=f(x),故2是函数f(x)的一个周期,正确; 对于,由于函数f(x)是偶函数,且函数f(x)是以2为周期的函数,则f(2-x)=f(x-2)=f(x),即f(2-x)=f(x),故函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故正确; 对于,由于函数f(x)是偶函数且在-1,0上是增函数,根据偶函数图象的性质可知,函数f(x)在0,1上是减函数,故错误; 对于,由于函数f(x)是以2为周期的函数且在-1,0上为增函数,由周期函数的性质知,函数f(x)在1,2上是增函数,故错误; 对于,由于函数f(x)是以2为周期的函数,所以f(2)=f(0),正确.综上所述,正确结论的序号是.,【例2】 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在-1,0上是增函数,给出下列关于f(x)的结论:f(x)是周期函数;f(x)的图象关于直线x=1对称;f(x)在0,1上是增函数;f(x)在1,2上是减函数;f(2)=f(0).其中正确结论的序号是 .,答案:,经典考题研析 在经典中学习方法,函数图象的对称性,审题指导,【典例】(2015高考新课标全国卷)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a等于( ) (A)-1 (B)1 (C)2 (D)4,解析:设(x,y)是函数y=f(x)图象上任意一点,它关于直线y=-x的对称点为(-y,-x), 由y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称, 可知(-y,-x)在y=2x+a的图象上,即-x=2-y+a, 解得y=-log2(-x)+a, 所以f(-2)+f(-4)=-log22+a-log24+a=1, 解得a=2. 故选C.,命题意图:本题主要考查两个函数图象的对称性、函数解析式的求法等基础知识,考查考生的运算求解能力及转化与化归思想、方程思想.,
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