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第七章 立体几何与空间向量,第5节 直线、平面垂直的判 定与性质,1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理 2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题,要点梳理 1直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义： 直线l与平面内的_一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直 (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：,任意,a,b,abO,la,lb,两条相交直线都,b,a,2直线与平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的_所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角 如图，,射影,锐角,PAO,3平面与平面垂直 (1) 二面角的有关概念： 二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱两个半平面叫做二面角的面,如图，记作：二面角l或二面角AB或二面角PABQ.,二面角的平面角在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角,二面角的范围是_ (2)平面与平面的垂直 定义一般地，两个平面相交， 如果它们所成的二面角是_， 就说这两个平面互相垂直,0，,直二面角,(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：,垂线,l,交线,质疑探究：若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则吗？ 提示：不一定，若这无数条直线都平行，则得不到内的这条直线垂直于，从而得不到.,基础自测 1设a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分条件是( ) Aac，bc B，a，b Ca，b Da，b 解析 对于选项C，在平面内作cb，因为a，所以ac，故ab；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有ab. 答案 C,2将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2)，则在空间四边形ABCD中，AD与BC的位置关系是( ),图1 图2 A相交且垂直 B相交但不垂直 C异面且垂直 D异面但不垂直,解析 在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则ADBC，翻折后如图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即ADBD，ADCD，故AD平面BCD，所以ADBC. 答案 C,3(2015通化模拟)已知如图，六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC.则下列结论不正确的是( ) ACD平面PAF BDF平面PAF CCF平面PAB DCF平面PAD,解析 A中，因为CDAF，AF平面PAF，CD平面PAF，所以CD平面PAF成立；B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DFAF.又因为PA平面ABCDEF，所以PADF，又因为PAAFA，所以DF平面PAF成立；C中，因为CFAB，AB平面PAB，CF平面PAB，所以CF平面PAB；而D中CF与AD不垂直 答案 D,4、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断： mn；n；m，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_ 答案 可填与中的一个,5将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，DAB_.,答案 60,典例透析 考向一 直线与平面垂直的判定与性质 例1 (2015成都市质检)如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，ACAA12AB2，BAC90，点D是侧棱CC1延长线上一点，EF是平面ABD与平面A1B1C1的交线,(1)证明 依题意，有平面ABC平面A1B1C1， 又平面ABC平面ABDAB，平面A1B1C1平面ABDEF，EFAB. 三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，且BAC90， ABAA1，ABAC.,而AA1ACA，AB平面ACC1A1. 又A1C平面ACC1A1，ABA1C. EFA1C.,拓展提高 (1)证明直线和平面垂直的常用方法,(2)当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任意一条直线，常用来证明线线垂直 (3)斜线与平面所成的角，首先作出面的垂线，才得出斜线在面内的射影，才可得出斜线与平面所成的角，转化为直角三角形求解,活学活用1 (2015湖南省五市十校联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点 (1)证明：AD平面PAC； (2)求直线AM与平面ABCD 所成角的正切值,(1)证明 因为ADC45，且ADAC1， 所以DAC90，即ADAC， 又PO平面ABCD，AD平面ABCD， 所以POAD，而ACPOO， 所以AD平面PAC. (2)解 取DO的中点N，连接MN，AN， 因为M为PD的中点，所以MNPO， 且MNPO1，由PO平面ABCD，得MN平面ABCD，所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角,考向二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 (2015烟台四校达标检测)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，点P为DD1的中点 (1)求证：平面PAC平面BDD1； (2)求证：PB1平面PAC. 思路点拨 (1)利用AC面BDD1； (2)利用计算关系PB1PC，PB1PA.,证明 (1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，底面ABCD是正方形，,ACBD.又DD1平面ABCD， AC平面ABCD， ACDD1. 又BDDD1D，BD平面BDD1， DD1平面BDD1，AC平面BDD1， AC平面PAC，平面PAC平面BDD1.,拓展提高 (1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90) 面面垂直的判定定理(a，a),(3)面面垂直性质的应用 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线” 两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面,活学活用2 (2015浙江省名校联考)如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直已知AB2，EF1. (1)求证：平面DAF平面CBF； (2)求直线AB与平面CBF所成角的大小,(1)证明 平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB， CB平面ABEF. AF平面ABEF，AFCB， 又AB为圆O的直径，AFBF， AF平面CBF. AF平面ADF，平面DAF平面CBF.,考向三 二面角的求法 例3 (2015宁波模拟)如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点. (1)求证：B1C平面A1BD. (2)求二面角A1BDA的大小. (3)求直线AB1与平面A1BD 所成的角的正弦值.,思路点拨 (1)三棱柱的侧面是矩形，对角线A1B，AB1的交点与点D的连线平行于B1C. (2)由于三棱柱的底面是正三角形，D为AC的中点，由侧面与底面垂直，可以得到BD平面ACC1A1，BDA1D，A1DA就是二面角的平面角 (3)根据(2)得平面A1BD平面A1AD，只要过点A作A1D的垂线即可得到点A在平面A1BD内的射影，即得到了线面角,(1)证明 设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1的中点，因为D为AC的中点，所以PDB1C. 又因为PD平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C平面A1BD. (2)解：由题知，平面ACC1A1平面ABC，平面ACC1A1平面ABCAC，又因为BDAC，则BD平面ACC1A1，所以BDA1D，所以A1DA就是二面角A1BDA的平面角,(3)解：作AMA1D于M.由(2)，易知BD平面ACC1A1. 因为AM平面ACC1A1，所以BDAM. 因为A1DBDD，所以AM平面A1BD. 连接MP，易知APM就是直线AB1与平面A1BD所成的角,拓展提高 空间角中的难点是二面角，作二面角的平面角的常用方法有： 直接法：根据平面角的概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点； 垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角； 垂线法：过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面的垂线，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC，连结AC，则AC也与二面角的棱垂直，ACB就是二面角的平面角或其补角，这样就把问题归结为解一个直角三角形，是求解二面角最基本、最重要的方法,活学活用3 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形已知AB3，AD2，PA2，PD2，PAB60. (1)证明：AD平面PAB； (2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小； (3)求二面角PBDA的正切值的大小 (1)证明 在PAD中，由题设PA2，AD2，PD2， 可得PA2AD2PD2，于是ADPA. 在矩形ABCD中，ABAD， 又PAABA，所以AD平面PAB.,(3)解 如图所示，过点P作PHAB于H，过点H作HEBD于E，连接PE.,因为AD平面PAB，PH平面PAB， 所以ADPH.又ADABA， 所以PH平面ABCD， 故HE为PE在平面ABCD内的射影， BDPE.从而PEH是二面角PBDA的平面角,思想方法16 立体几何中的探索性问题 典例 (2015朝阳区第一学期末)如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点 (1)求证：CD平面SAD. (2)若SASD，M为BC的中点， 在棱SC上是否存在点N， 使得平面DMN平面ABCD，并证明你的结论,审题视角 (1)由面SAD面ABCD性质得结论 (2)取SC的中点，证明面DMN面ABCD. 证明 (1)因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD. 又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，所以CD平面SAD. (2)存在点N为SC的中点，使得平面DMN平面ABCD. 连接PC、DM交于点O，连接PM、SP、NM、ND、NO.,方法点睛 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在,(1)求证：DE平面A1CB. (2)求证：A1FBE. (3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由 (1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC. 又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.,(2)证明：由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC. 所以DEA1D，DECD，A1DCDD， 所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F. 又因为A1FCD，且DECDD，所以A1F平面BCDE，所以A1FBE.,(3)解：线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ. 理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC. 又因为DEBC，所以DEPQ. 所以平面DEQ即为平面DEP.,由(2)知，DE平面A1DC， 所以DEA1C. 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点， 所以A1CDP.又DEDPD， 所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.,思维升华 【方法与技巧】,【失误与防范】,1在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化 2面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可,
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