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8.5 垂直关系,考纲要求:1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.,1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.,(2)判定定理与性质定理,2.直线与平面的夹角 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角,角的范围是_. 3.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作与棱垂直的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.,4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.,(2)判定定理与性质定理,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)已知直线a,b,c;若ab,bc,则ac. ( ) (2)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l. ( ) (3)设m,n是两条不同的直线,是一个平面,若mn,m,则n. ( ) (4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. ( ) (5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则. ( ),1,2,3,4,5,2. 如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是 ( ) A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C1,答案,解析,1,2,3,4,5,3.(教材习题改编P69练习)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体A-BCD(如图2),则在空间四面体A-BCD中,AD与BC的位置关系是 ( ) A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.异面且垂直 D.异面但不垂直,答案,解析,1,2,3,4,5,4.P为ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC内的射影. (1)若P到ABC三边距离相等,且O在ABC的内部,则O是ABC的 心; (2)若PABC,PBAC,则O是ABC的 心; (3)若PA,PB,PC与底面所成的角相等,则O是ABC的 心.,答案,解析,1,2,3,4,5,5.如图,PAO所在平面,AB是O的直径,C是O上一点,AEPC,AFPB,给出下列结论:AEBC;EFPB;AFBC;AE平面PBC,其中真命题的序号是 .,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行,还有可能异面、相交等. 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面”. 3.判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1直线与平面垂直的判定与性质 例1如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.证明:A1D平面A1BC .,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,证明:(1)设E为BC的中点,由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE. 因为AB=AC,所以AEBC. 故AE平面A1BC. 由D,E分别为B1C1,BC的中点, 得DEB1B且DE=B1B, 从而DEA1A且DE=A1A, 所以AA1DE为平行四边形. 于是A1DAE. 又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:证明线面垂直的常用方法有哪些? 解题心得:1.证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面). 2.解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点. (1)求证:直线AE直线DA1; (2)在线段AA1上求一点G,使得直线AE平面DFG.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(1)证明:连接AD1,BC1. 由正方体的性质可知,DA1AD1,DA1AB, 又ABAD1=A, DA1平面ABC1D1. AE平面ABC1D1, DA1AE. (2)解:所求G点即为A1点,证明如下: 由(1)可知AEDA1,取CD的中点H, 连接AH,EH,由DFAH,DFEH,AHEH=H,可得DF平面AHE. AE平面AHE,DFAE. 又DFA1D=D,AE平面DFA1, 即AE平面DFG.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2平面与平面垂直的判定与性质 例2如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.证明:平面AEF平面B1BCC1;,证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AEBB1. 又E是正三角形ABC的边BC的中点,所以AEBC.因此,AE平面B1BCC1.而AE平面AEF,所以,平面AEF平面B1BCC1.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:证明面面垂直的常用方法有哪些? 解题心得:1.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形. 2.由平面和平面垂直的判定定理可知,要证明平面与平面垂直,可转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直. 3.平面和平面垂直的判定定理的两个条件:l,l,缺一不可.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD. (1)证明:平面AEC平面BED; (2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(1)证明:因为四边形ABCD为菱形, 所以ACBD. 因为BE平面ABCD, 所以ACBE.故AC平面BED. 又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED. (2)解:设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得 因为AEEC,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3平行与垂直的综合问题(多维探究) 类型一 探索性问题中的平行与垂直关系 例3在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形. (1)若ACBC,证明:直线BC平面ACC1A1. (2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC?请证明你的结论.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,解:(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形, 所以AA1AB,AA1AC. 因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线, 所以AA1平面ABC. 因为直线BC平面ABC,所以AA1BC. 又由已知,ACBC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线, 所以BC平面ACC1A1.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点. 由已知,O为AC1的中点. 连接MD,OE,则MD,OE 分别为ABC,ACC1的中位线. 所以,MD AC,OE AC, 因此MDOE. 连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形, 则DEMO. 因为直线DE平面A1MC,MO平面A1MC, 所以直线DE平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE平面A1MC.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,类型二 折叠问题中的平行与垂直关系 例4如图,在等腰梯形CDEF中, ,将它沿着两条高AD,CB折叠成如图所示的四棱锥E-ABCD(E,F重合). (1)求证:BEDE; (2)设点M为线段AB的中点,试在线段CE上确定一点N,使得MN平面DAE.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(1)证明:ADEF, ADAE,ADAB. ABAE=A, AD平面ABE, ADBE. 由题图和题中所给条件知,AE=BE=1,AB=CD= AE2+BE2=AB2,即AEBE. 又AEAD=A, BE平面ADE,BEDE.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)解:取EC的中点G,BE的中点P, 连接PM,PG,MG. 则MPAE,GPCBDA, MP平面DAE,GP平面DAE. MPGP=P, 平面MPG平面DAE. MG平面MPG,MG平面DAE,即存在点N与G重合满足条件.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,解题心得:平行与垂直的综合应用问题的处理策略: (1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点的存在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识找点. (2)折叠问题中的平行与垂直关系处理的关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系,尤其是隐含着的垂直关系.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 (1)已知三棱柱ABC-ABC中,平面BCCB底面ABC,BBAC,底面ABC是边长为2的等边三角形,AA=3,E,F分别在棱AA,CC上,且AE=CF=2. 求证:BB底面ABC; 在棱AB上找一点M,使得CM平面BEF,并给出证明.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(1)证明:如图,取BC中点O,连接AO,因为三角形ABC是等边三角形,所以AOBC. 又平面BCCB底面ABC,AO平面ABC, 平面BCCB平面ABC=BC,所以AO平面BCCB. 又BB平面BCCB,所以AOBB. 又BBAC,AOAC=A,AO平面ABC, AC平面ABC,所以BB底面ABC. 如图,显然M不是A,B,棱AB上若存在一点M, 使得CM平面BEF,过M作MNAA交BE于N, 连接FN,MC,所以MNCF,即CM和FN共面,所以CMFN, 所以四边形CMNF为平行四边形,所以MN=2, 所以MN是梯形ABBE的中位线,M为AB的中点.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)如图,在RtABC中,ABC=90,D为AC的中点,AEBD于点E(不同于点D),延长AE交BC于F,将ABD沿BD折起,得到三棱锥A1-BCD,如图所示. 若M是FC的中点,求证:直线DM平面A1EF. 求证:BDA1F. 若平面A1BD平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直?并说明理由.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)证明:因为D,M分别为AC,FC的中点, 所以DMEF, 又EF平面A1EF,DM 平面A1EF, 所以DM平面A1EF. 证明:因为A1EBD,EFBD,且A1EEF=E,所以BD平面A1EF. 又A1F平面A1EF,所以BDA1F.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,解:直线A1B与直线CD不能垂直.理由如下: 因为平面A1BD平面BCD,平面A1BD平面BCD=BD,EFBD,EF平面BCD, 所以EF平面A1BD. 因为A1B平面A1BD,所以A1BEF, 又因为EFDM,所以A1BDM. 假设A1BCD,因为CDDM=D, 所以A1B平面BCD,所以A1BBD, 这与A1BD为锐角矛盾, 所以直线A1B与直线CD不能垂直.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.转化思想:垂直关系的转化 2.在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.,“立体几何”类题目的审题要点与解题步骤 在高考数学试题中,问题的条件以图形的形式或将条件隐含在图形之中给出的题目较多,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势,抓住图形的特征,利用图形所提供信息来解决问题. 典例(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点,求证: (1)直线BC1平面EFPQ; (2)直线AC1平面PQMN.,解题步骤: 第一步:由图形特征(正方体、中位线)推证AD1BC1,FPAD1,从而证FPBC1,可得结论. 第二步:利用图形特征ACBD及CC1平面ABCD推证BD平面ACC1,从而得AC1BD. 第三步:利用平行性证明MNAC1,PNAC1,可证AC1平面PQMN.,证明:(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FPAD1.从而BC1FP. 而FP平面EFPQ,且BC1 平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ. (2)如图,连接AC,BD, 则ACBD. 由CC1平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC1BD. 又ACCC1=C, 所以BD平面ACC1. 而AC1平面ACC1,所以BDAC1. 连接B1D1,因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点, 所以MNB1D1,故MNBD, 从而MNAC1.同理可证PNAC1. 又PNMN=N,所以直线AC1平面PQMN.,
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