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2019-2020年高三上学期期中（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共70分请将答案填写在答题卡相应位置.1. 函数的最小正周期是 .2设集合，A=2，3，5，B=1，4，则= .3复数（i是虚数单位）的实部是 .4命题“”的否定是 .5已知向量a=，ba，且|b|=2，则向量b的坐标是 .6将函数的图象按向量p=平移后所得图象的解析式是 .7若向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为，则|a+b|= .8. 在等比数列an中，若a3a83a13=243，则的值为 .9. 若函数在上是增函数，则m的取值范围是 .10. 某地区为了了解7080岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查. 下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是 . 11. 若关于x的方程kxlnx=0有解，则k的取值范围是 .12. 设等差数列的前n项和为，若，则 .13. 设是定义在上的减函数，且对一切都成立，则a的取值范围是 .14. 设函数，则下列命题中正确命题的序号是 .当时，在R上有最大值；函数的图象关于点对称；方程=0可能有4个实根；当时，在R上无最大值；一定存在实数a，使在上单调递减. 二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本题满分14分）设an是公比为q的等比数列，试用a1，q，n ()表示Sn=. 16（本小题满分14分） 如图，一个半径为10m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为d（m）（P在水下，则d为负数），则d与时间t（s）之间满足关系式：，且当点P从水面上浮现时开始计算时间. 现有以下四个结论：；b=5.（1）直接写出正确结论的序号；（2）对你认为正确的结论予以证明，并改正错误的结论. 17. （本题满分14分）定义在R上的奇函数有最小正周期2，且当时，.（1）求在1，0)上的解析式；（2）判断在(2，1)上的单调性，并给予证明18（本题满分14分）已知ABC的面积为，且，向量和是共线向量. （1）求角C的大小；（2）求ABC的三边长. 19（本题满分16分）已知二次函数的图象经过点(0,1)，其导函数，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)均在函数的图象上.（1）求数列an的通项公式an和；（2）设，Tn是数列bn的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m. 20（本小题满分18分）已知函数(a，b均为正常数). （1）求证：函数f(x)在(0，a+b内至少有一个零点；（2）设函数在处有极值. 对于一切，不等式恒成立，求b的取值范围；若函数f (x)在区间上是单调增函数，求实数m的取值范围.xx届高三期中考试【填空题答案】12 26 3. 45. 或 6. 7. 8. 3 9. 10. 6.42 11. 12. 13. 14. 二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤15. （本题满分14分）设an是公比为q的等比数列，试用a1，n，q()表示Sn=. 【解】因为an是公比为q的等比数列，所以.2分于是Sn=即. 4分在上式两边同乘以q，得， 6分由得 8分所以，当时，. 10分显然，当q=1时， 12分故 14分16（本小题满分14分） 如图，一个半径为10m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为d（m）（P在水下，则d为负数），则d与时间t（s）之间满足关系式：，且当点P从水面上浮现时开始计算时间. 现有以下四个结论：；b=5.（1）直接写出正确结论的序号；（2）对你认为正确的结论予以证明，并改正错误的结论. 【解】（1） . 6分（2）由题意得，点P在最高位置时，d=15m，点P在最低位置时，d=5m，于是有 解得A=10，b=5，故和都是正确的. 10分由于水轮按逆时针方向每分钟转4圈，故它的周期是T=15.所以. 12分由题意得t=0时，d=0，所以.因为，所以. 14分17. （本题满分14分）定义在R上的奇函数有最小正周期2，且当时，.（1）求在1，0)上的解析式；（2）判断在(2，1)上的单调性，并给予证明【解】（1）因为奇函数的定义域为R，周期为2，所以，且，于是2分当时，. 5分所以在1，0)上的解析式为7分（2）在(2，1)上是单调增函数. 9分先讨论在(0,1)上的单调性. 方法1设，则因为，所以，于是，从而，所以在(0,1)上是单调增函数. 12分因为的周期为2，所以在(2，1)上亦为单调增函数. 14分方法2当时，.因为ln20，所以，所以在(0,1)上是单调增函数. 12分因为的周期为2，所以在(2，1)上亦为单调增函数. 14分【注】第(2)小题亦可利用周期性求出，再利用定义或导数确定单调性.18（本题满分14分）已知ABC的面积为，且，向量和是共线向量.（1）求角C的大小； （2）求ABC的三边长.【解】（1）因为向量和是共线向量，所以， 2分即sinAcosB+cosAsinB2sinCcosC=0，化简得sinC2sinCcosC=0，即sinC(12cosC)=0. 4分因为，所以sinC0，从而， 6分（2），于是AC. 8分因为ABC的面积为，所以，即，解得 11分在ABC中，由余弦定理得所以 14分19（本题满分16分）已知二次函数的图象经过点(0,1)，其导函数，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)均在函数的图象上.（1）求数列an的通项公式an和；（2）设，Tn是数列bn的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m. 【解】（1）由题意，可设.因为函数的图象经过点(0,1)，所以. 而，所以a=3，b=2. 于是. 3分因为点(n，Sn)均在函数的图象上，所以Sn.5分所以a1=S1=2，当时，故 8分（2） 10分所以当n1时， . 12分对所有都成立对所有都成立 故所求最小正整数m为6. 16分20（本小题满分18分）已知函数(a，b均为正常数). （1）求证：函数f(x)在(0，a+b内至少有一个零点；（2）设函数在处有极值. 对于一切，不等式恒成立，求b的取值范围；若函数f(x)在区间上是单调增函数，求实数m的取值范围.【证】（1）因为，所以函数f(x)在(0，a+b内至少有一个零点. 4分【解】（2）. 6分因为函数在处有极值，所以，即，所以a=2.于是. 8分，于是本小题等价于对一切恒成立.记，则因为，所以，从而，所以，所以，即g(x)在上是减函数.所以，于是b1，故b的取值范围是 12分，由得，即 14分因为函数f(x)在区间上是单调增函数，所以，则有 即只有k=0时，适合，故m的取值范围是 18分
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