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点到直线的距离,过点P作l的垂线，P与垂足之间的长度,点到直线的距离是指,P,l,Q,已知点P（-1，2）和直线L：2x+y-10=0，求P点到直线L的距离,先求出过P点和L 垂直的直线：,再求出L和L 的交点Q,L：x-2y+5=0,Q（3，4）, |PQ|=,已知：P（x。，y。）和直线L：Ax+By+C=0 （P不在直线L上），试求P点到直线L的距离。,思路一：利用两点的距离公式可以求|PQ|的长度。,分析：要求|PQ|的长度,P点坐标已知，只要求出Q点坐标就可以了。,又Q点是直线PQ和直线L的交点,又直线L的方程已知,只要求出直线PQ的方程就可以了,即：|PQ| Q点坐标 直线PQ与直线L的交点 直线PQ的方程 直线PQ的斜率 直线L的斜率,分析：现在最关键的是如何选取第三点M,以构成一个直角三角形,思路二：利用直角三角形也可以求|PQ|的长度。,M点为任意点，所以坐标不好求。,所以，|PM|、|MQ|均不好求。,M点在x轴上，,相对而言|PM|,|MQ|易求一些， 但计算量依然较大；,PM/y轴似乎也不好求，,但角MPQ与直线L的倾斜角有关，,因此可以利用三角函数关系来求：,|PQ|=|PM|cosMPQ, MPQ= (900）,又cosMPQ =|cos |,具体分析,再求|PM|,问： MPQ与倾斜角有什么关系呢？,),), + 1=90 , 1 =180 -, + 2=90 ,又 MPQ+ 2=90 , MPQ= ,又 1+ 2= 90 , MPQ+ 3=90 , MPQ=180 -,下面求M点的坐标。,设M（x1，y1）,PM/y轴， x1= x。,M点在直线L （Ax+By+C=0）上,把M点坐标代入得：,因此|PM|=|y0-y1|, |PQ|=|PM|cosMPQ,公式 的完善,1.当A=0，即Ly轴时,2.当B=0，即Lx轴时,3.当P点在L上时，,显示,显示,公式成立,公式明显成立,公式成立,公式结构特点,（1）分子是P点坐标代入直线方程；,（2）分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根,类似于勾股定理求斜边的长,练习1,（1）P（2，3）到直线y= 2的距离是_,（4）P（1，1）到直线3x= 2的距离是_,（2）P（2，3）到直线x+2y+4= 0的距离是_,（3）用公式解P（1，2）到直线2x+y10=0的距离是_,5,1,0,1.求平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离。,解：在直线2x 7y6=0上任取一点，如P(3,0),则两平行线的距离就是点P(3,0)到直线2x 7y+8=0的距离。（如图）,因此，d=,练习2,思考 ?,两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？,求两条平行直线Ax+By+ =0与Ax+By+ =0的距离。,解：在直线上Ax+By+ =0任取一点，如P(x0,y0),则两平行线的距离就是点P(x0,y0) 到直线Ax+By+ =0 的距离。（如图）,因此，d=,小结,1、点到直线的距离公式及其推导；,作业：P45 12、13、14、15,2、利用公式求点到直线的距离。,3、探索两平行直线的距离,4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线”及“求（动）定点到（定）动直线的距离的最值”等等,当A=0，即Ly轴时,此时L：y=,又PQ/y轴,A=0：,B=0：,当B=0，即Lx轴时,此时L：x=,又PQ/x轴,
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