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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 必修1,函数的应用,第三章,3.2 函数模型及其应用,第三章,3.2.1 几类不同增长的函数模型,1对数函数ylogax，(a0，a1)当a1时，增区间为_，当0a1时减区间为_ 2函数yax(a0，a1)，当a1时增区间为_ ，当0a1时减区间为_ 3函数ylogax与yax(a0，a1)的图象关于_对称 4yx(R)，当0时函数在(0，)上为_函数，当0时，函数在(0，)上为_函数,知识衔接,(0，),(0，),(，),(，),yx,增,减,5.某地的水电资源丰富，并且得到了电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系如右图所示：则月用电量为100度时，应交电费_元,60,1四种函数模型的性质,自主预习,增,增,增,增,快,慢,2.三种增长函数模型的比较 (1)指数函数和幂函数 一般地，对于指数函数yax(a1)和幂函数yxn(n0)，通过探索可以发现，在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长_于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有ax_xn.,快,(2)对数函数和幂函数 对于对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长_于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logax_xn.,慢,(3)指数函数、对数函数和幂函数 在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是_函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越_，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有_xn_.,增,快,logax,ax,1专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数yf(x)的图象大致为( ) 答案 D 解析 由题意可知y(110.4%)x.,预习自测,答案 C 解析 (排除法)当x1时，否定B项；当x2时，否定D，当x3时，否定A项；故选C.,3下列函数增长的速度最快的是( ) Ay3x Bylog3x Cyx3 Dy3x 答案 A 4当x4时，a4x，blog4x，cx4，则有( ) Aabc Bbac Ccab Dbca 答案 D,四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： 关于x呈指数函数变化的变量是_,考查函数模型的增长差异,互动探究,探究1.从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化 解析 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化 从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化 答案 y2 规律总结 解决本题的关键是如何确定变量间的关系是指数函数关系，不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值，还要看函数值的变化趋势,下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：,试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？ (2)各函数增长速度快慢有什么不同？ 解析 (1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大 (2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)x2，增长的幅度也在变大；而f(x)2x7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)log2x，而且增长的幅度越来越小,规律总结 对于三种函数增长的几点说明： (1)对于幂函数yxn，当x0，n0时，yxn才是增函数，当n越大时，增长速度越快 (2)指数函数与对数函数的递增前提是a1，又它们的图象关于yx对称，从而可知，当a越大，yax增长越快；当a越小，ylogax增长越快，一般来说，axlogax(x0，a1) (3)指数函数与幂函数，当x0，n0，a1时，可能开始时有xnax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有axxn.,函数f(x)2x和g(x)x3的图象如下图所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 015)，g(2 015)的大小,图象信息迁移题,探究1.随着自变量x的增大，图象位于上方的函数是指数函数y2x，另一个函数就是幂函数yx3. 解析 (1)C1对应的函数g(x)x3，C2对应的函数为f(x)2x. (2)f(1)g(1)，f(2)g(10)， 1x2. 从图象上可以看出，当x1x2时，f(x)g(x)，f(2 015)g(2 015) 又g(2 015)g(6)，f(2 015)g(2 015)g(6)f(6),函数f(x)lgx，g(x)0.3x1的图象如右图所示 (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较),解析 (1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lgx. (2)当xf(x)；当x1g(x)；当xx2时，g(x)f(x),某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程厂里也暂时不准备增加设备和工人假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：yaxb，yax2bxc，yabxc，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？,函数模型的选择,探索延拓,探究1.本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型,比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势 因此选用指数函数y0.80.5x1.4模拟比较接近客观实际,规律总结 本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际,某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？,规律总结 不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律 因此，需抓住题中蕴含的科学的信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题,1下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( ) Ay2x By1 0000x Cylog3x Dyx3 答案 A,答案 D 解析 代入检验，排除A、B、C，故选D.,4四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： 关于x呈指数型函数变化的变量是_ 答案 y2.,
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