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理数 课标版,第七节 n次独立重复试验与二项分布,1.条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概 率叫做 条件概率 ,用符号 P(B|A) 来表示,其公式为P(B|A)= (P(A)0).在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件,教材研读,的个数,则P(B|A)= . (2)条件概率具有的性质: (i) 0P(B|A)1 ; (ii)如果B和C是两个互斥事件,那么P(BC|A)= P(B|A)+P(C|A) .,2.相互独立事件 (1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称 A、B是相 互独立事件 . (2)若A与B相互独立,则P(B|A)= P(B) , P(AB)=P(B|A)P(A)= P(A)P(B) . (3)若A与B相互独立,则 A与 , 与B , 与 也都相 互独立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),则 A与B相互独立 .,3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立 的一种试验,在这种试验中每一次试验只有 两 种结果,即要么发 生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的. (2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事 件A发生的概率为p,则P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n) ,此时称随 机变量X服从 二项分布 ,记为 XB(n,p) ,并称p为成功概率.,判断下面结论是否正确.(请在括号中打“”或“”) (1)相互独立事件就是互斥事件. () (2)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B). () (3)P(BA)表示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)P(B). (),1.已知P(B|A)= ,P(AB)= ,则P(A)等于 ( ) A. B. C. D. 答案 C 由P(AB)=P(A)P(B|A),可得P(A)= .,2.若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)= ,则P(EF)的值等于 ( ) A.0 B. C. D. 答案 B EF代表E与F同时发生,P(EF)=P(E)P(F)= .故选B.,3.设随机变量XB ,则P(X=3)等于 ( ) A. B. C. D. 答案 A XB ,P(X=3)= = .,4.某人射击,一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击 中目标的概率为 . 答案 解析 可看作3次独立重复试验,则P= 0.620.4+0.63= .,5.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别 为 , , ,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为 . 答案 解析 依题意得,加工出来的零件的正品率是 = ,因此加工出来的零件的次品率是1- = .,考点一 条件概率 典例1 (2016课标全国,18(1)(2)某险种的基本保费为a(单位:元),继 续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出 险次数的关联如下:,考点突破,设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:,(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率.,解析 (1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则 事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05= 0.55. (2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事 件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB),=P(B),故P(B|A)= = = = .因此所求概率为 .,方法技巧 条件概率的求法 (1)利用条件概率公式,分别求P(A)和P(AB),再利用P(B|A)= 求解, 这是通用的求条件概率的方法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件 A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)= .,1-1 甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的记录知,一年中下雨 天甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.则在甲市为雨天的条件 下,乙市也为雨天的概率为 ( ) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.66,答案 A 将“甲市为雨天”记为事件A,“乙市为雨天”记为事件B, 则P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,故P(B|A)= = =0.6.,1-2 (2016甘肃张掖诊断)某盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧 球,不放回地依次摸出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也 摸出新球的概率为 ( ) A. B. C. D. 答案 B “第一次摸出新球”记为事件A,则P(A)= ,“第二次摸出新 球”记为事件B,则P(AB)= = ,P(B|A)= = = ,故选B.,考点二 相互独立事件的概率 典例2 在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数 百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3 名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号 中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中 随机选3名歌手. (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求“X2”的概率. 解析 (1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选 中3号歌手”,则P(A)= = ,P(B)= = . 事件A与B相互独立,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 P(A )=P(A)P( )=P(A)1-P(B) = = . (2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”, 则P(C)= = , 依题意,A,B,C相互独立, , , 相互独立,且AB ,A C, BC,ABC彼此互斥. P(X=2)=P(AB )+P(A C)+P( BC) = + + = ,P(X=3)=P(ABC)= = , P(X2)=P(X=2)+P(X=3)= + = .,方法技巧 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解; (2)正面计算较复杂或难以入手时,可从对立事件入手计算. 2-1 甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛 完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的 概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立. (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率; (2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列.,解析 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获 胜”,Bk表示“第k局乙获胜”, 则P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5. (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) = + + = . 所以甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率为 . (2)X的可能取值为2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= , P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3),=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= , P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)= , P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= . 故X的分布列为,考点三 n次独立重复试验与二项分布 典例3 (2016晋中四校1月联考)一款击鼓小游戏的规则如下:每轮游戏 都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每轮游戏 击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次 音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓 出现音乐的概率为 ,且各次击鼓是否出现音乐相互独立. (1)设每轮游戏获得的分数为X,求X的分布列; (2)玩三轮游戏,至少有一轮出现音乐的概率是多少?,解析 (1)X可能的取值为10,20,100,-200. 根据题意,有P(X=10)= = , P(X=20)= = ,P(X=100)= = , P(X=-200)= = . 所以X的分布列为,(2)设“第i轮游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3), 则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= . 所以,“三轮游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1-P(A1A2A3)=1- =1- = . 因此,玩三轮游戏至少有一轮出现音乐的概率是 .,易错警示 利用n次独立重复试验的概率公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)可以 简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足两个条件:(1) 在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完 全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的. 另外,要注意利用公式求得的是n次试验中事件A恰好发生了k次(X=k)的 概率. 3-1 在一次数学考试中,第21题和第22题为选做题.规定每位考生必须 且只需在其中选做一题.设4名学生选做每一道题的概率均为 . (1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率; (2)设这4名学生中选做第22题的学生个数为,求的分布列.,解析 (1)设事件A表示“甲选做第21题”,事件B表示“乙选做第21 题”,则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB+ ”,且事 件A、B相互独立. 故P(AB+ )=P(A)P(B)+P( )P( )= + = . (2)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,且B , 则P(=k)= = (k=0,1,2,3,4). 故的分布列为,
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