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第3课时 排列的综合应用,【题型示范】 类型一 有关数字的排列问题 【典例1】 (1)用0，1，2，3，4五个数可以组成_个无重复数字的五位数.,(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？ 六位奇数； 个位数字不是5的六位数； 不大于4 310的四位偶数.,【解题探究】1.题(1)中对由0，1，2，3，4组成的五位数的要求是什么？ 2.题(2)中奇数与偶数的特点是什么？ 【探究提示】1.万位数上的数字不能为0且不能重复. 2.奇数与偶数是指个位数字为奇数和偶数.,【自主解答】(1)先排万位，从1，2，3，4中任选一个有4种填 法，其余四个位置的四个数共有 种填法，故共有4 =96个 满足条件的五位数. 答案：96,(2)第一步，排个位，有 种排法； 第二步，排十万位，有 种排法； 第三步，排其他位，有 种排法. 故共有 个六位奇数.,方法一(直接法)： 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需 分两类. 第一类，当个位排0时，有 个； 第二类，当个位不排0时，有 个. 故符合题意的六位数共有 504(个).,方法二(排除法)： 0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两 类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况. 故符合题意的六位数共有 504(个).,分三种情况，具体如下： ()当千位上排1,3时，有 个. ()当千位上排2时，有 个. ()当千位上排4时，形如40，42的各有 个； 形如41的有 个； 形如43的只有4 310和4 302这两个数. 故共有 110(个).,【延伸探究】若题(2)的条件不变，试完成下列几个问题： 能被5整除的五位数有多少个？ 能被3整除的五位数有多少个？ 若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列an，则240 135是第几项？,【解题指南】能被5整除的数字必须是个位为0或5，能被3整除 的条件是各位上数字之和能被3整除，明确这一点是解决此题 的关键. 【解析】个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有 个；若个位上是5，若不含0，则有 个；若含0，但0不作首 位，则0的位置有 种排法，其余各位有 种排法，故共有 216(个)能被5整除的五位数.,能被3整除的条件是各位上数字之和能被3整除，则5个数可 能有1,2,3,4,5和0,1,2,4,5两种情况，能够组成的五位数 分别有 个和 个. 故能被3整除的五位数有 216(个). 由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有 个数， 首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有 个数，所以 240 135的项数是 193,即240 135是数列的第193项.,【方法技巧】数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 (1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论.,(2)常用方法：直接法、间接法. (3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理.,【变式训练】(2014邢台高二检测)由0，2，5，6，7，8这六个数字组成没有重复数字的四位自然数(解答时给出简单的理由). (1)共能得到多少个这样的四位数？ (2)设这样得到的四位奇数有a个，四位偶数有b个，求a-b的值. (3)将所得到的所有四位数从小到大排成数列an，求a128.,【解析】(1)首位不能是0，有5种排法，其余各数位上可以随 意排，所以共有 =300个这样的四位数. (2)奇数的个位数只能是5或7，首位不能是0，共有 =96个，即a=96；偶数的个位可以是0，2，6，8之一，但0不 能作首位，其中0在个位的有 =60个，0不在个位的有 =144个，共有204个，即b=204，所以a-b=-108.,(3)形如2 ，5 的数各有 =60个，共120个，而 形如6 02和6 05的数又各有 =3个，共6个，接下来的是 6 072和6 075，所以a128=6 075.,【补偿训练】由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的正整数？,【解析】由题意知可分成六类： 第一类，组成的整数为一位数，有 个； 第二类，组成的整数为两位数，有 个； 第三类，组成的整数为三位数，有 个； 第四类，组成的整数为四位数，有 个； 第五类，组成的整数为五位数，有 个； 第六类，组成的整数为六位数，有 个. 所以，组成没有重复数字的正整数共有 =1 956(个).,类型二 有关排队、排节目的排列问题 【典例2】 (1)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( ) A.42 B.96 C.48 D.124,(2)(2014北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种.,【解题探究】1.题(1)中插入的节目有几种情况？ 2.题(2)中的“相邻”与“不相邻”问题一般使用什么方法？ 【探究提示】1.插入的两个节目分相邻和不相邻两种情况. 2.“相邻”问题用“捆绑法”，“不相邻”问题用“插空法”.,【自主解答】(1)选A.分两种情况：第一种，增加的两个新节 目相连；第二种，增加的两个新节目不相连.不同插法的种数 为 =42.,(2)设其他不同的产品分别为D,E，先把产品A与产品B捆绑有 种，再与产品D，E全排有 种，最后把产品C插空有 种，所 以共有 =36 种不同摆法. 答案：36,【方法技巧】排队、排节目问题的解题策略 (1)合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题. (2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理. (3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果.,【变式训练】3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数： (1)选其中5人排成一排. (2)排成前后两排，前排3人，后排4人. (3)全体站成一排，男、女各站在一起. (4)全体站成一排，男生不能站在一起. (5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾.,【解析】(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有 2 520种排法. (2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有 5 040种 排法. (3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排 列，有 种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有 种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 种排法， 由分步乘法计数原理知， 共有 288种.,(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有 种排法，男生在 4个女生隔成的五个空中安排共有 种排法，共有 1 440种. (5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有 种 排法；再安排其他人，有 720种排法.所以共有 3 600种排法.,【补偿训练】排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单. (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？,【解析】(1)先排歌唱节目有 种，歌唱节目之间以及两端共 有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有 种方法，所以 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 43 200种方法. (2)先排舞蹈节目有 种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有 5个空位，恰好供5个歌唱节目放入.所以歌唱节目与舞蹈节目 间隔排列的排法有 2 880种方法.,【拓展类型】固定顺序的排列问题 【备选例题】(1)由1,2,3,4,5五个数字组成各位数字不同的五位数，使2必须在4的右边(可以不相邻)有_种排法. (2)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人.若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站，不同的站法有_种. (3)7人站成一排. 甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？ 甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？,【解析】(1)由分步乘法计数原理，五个数字的全排列有 种 方法，2必须在4的右边，故共有 =60(种). 答案：60 (2)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有 种，而 由高到低有从左到右或从右到左的不同，所以共有不同站法 2 420种. 答案：420,(3)方法一：7人的所有排列方法有 种，其中甲、乙、丙 的排序有 种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、 乙、丙排序一定的排法共有 =840种. 方法二：(插空法)7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩 下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站 法，故 7654840种. 甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相 等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有 2 520种.,【方法技巧】固定顺序的排列问题的求解方法 这类问题的解法是采用分类法.n个不同元素的全排列有 种 排法，m个元素的全排列有 种排法.因此 种排法中，关于 m个元素的不同分法有 类，而且每一分类的排法数是一样的. 当这m个元素顺序确定时，共有 种排法.,【规范解答】排列的综合应用 【典例】(12分)4名运动员参加4100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则有多少种不同的出场顺序？,【审题】抓信息，找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区，促提升 失分点1：若没有考虑到甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒这个约束条件，则本例最多得4分. 失分点2：若在处忽视了甲在第一棒，乙同时跑第四棒的情况，即两次都减去了甲在第一棒且乙在第四棒的情况，则本例至少会扣掉4分.,【悟题】提措施，导方向 1.注重分类讨论的意识 在解有限制条件的排列问题时，要注意对特殊元素或特殊位置进行讨论，在讨论时要做到不重不漏，如本例中，易出现多减去甲在第一棒，乙同时跑第四棒的情况. 2.注重解题方法的选择 解决此类问题使用典型的通解(即间接法)不易出现重复或遗漏，使用特殊位置或特殊元素法时，易重复计数且易将题目的解答弄混.,【类题试解】星期一共排六节不同的课.(1)若第一节排数学或第六节排体育，则不同的排法有多少种？ (2)若第一节不排体育，第六节不排数学，则不同的排法有多少种？,【解析】(1)数学排在第一节有 种排法，体育排在第六节有 种排法，数学排在第一节且体育排在第六节有 种排法， 故第一节排数学或第六节排体育共有 =216种排法. (2)若不考虑限制条件，六节课全排列共有 种排法，体育排 在第一节有 种排法,数学排在第六节有 种排法, 体育排 在第一节且数学排在第六节有 种排法，所以共有 + =504种不同的排法.,
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