资源描述
第2课时 排列与排列数公式,排列数及排列数公式,不同,排列,n(n-1)(n-2)(n-m+1),n!,1,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)对于式子 中的x可以取小于或等于3的任意整数.( ) (2)排列数 是有n个因式的乘积.( ) (3)0！规定等于1，但它不能按阶乘的含义来解释.( ) (4)(55-n)(56-n)(69-n)= (nN*且n55).( ),【解析】(1)错误.x3且xN*. (2)错误.从n-m+1到n共有m个因式相乘. (3)正确.0!=1只是一种规定. (4)错误.(55-n)(56-n)(69-n)共有15个因式相乘，故它等于 (nN*且n54). 答案：(1)(2)(3)(4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)899091100可表示为_. (2)若 =17161554，则n=_,m=_. (3)由1,2,3可组成_个无重复数字的三位数. (4) =_.,【解析】(1)由排列数公式可知，899091100= 答案： (2)由排列数公式可知n=17，m=17-4+1=14. 答案：17 14 (3)由1,2,3可组成的无重复数字的三位数是 =321=6. 答案：6 (4) =432=24. 答案：24,【要点探究】 知识点 排列数与排列数公式 1.对排列数公式的两点说明 (1)公式中的n，m应该满足n,mN*，mn，当mn时不成立.,(2)排列数的两个公式： 第一个公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为n-m+1(下标-上标+1)，共有m(上标)个连续自然数相乘； 排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式.它是一个分式的形式，分子是下标n的阶乘，分母是下标减上标即(n-m)的阶乘.,2.排列数两个公式的选取技巧 (1)排列数的第一个公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1)(n,mN*, mn)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和 不等式；在运用该公式时要注意它的特点是：从n起连续写出m 个自然数的乘积即可. (2)排列数的第二个公式 适用于与排列数有关的证 明、解方程、解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取公 因式再计算，同时还要注意隐含条件“mn且n，mN*”的运 用.,【知识拓展】排列数公式拓展 可用排列数公式的阶乘式及定义得排列数性质：,【微思考】 (1)解决有关排列数问题的关键是什么？ 提示：解决此类问题的关键是对排列数公式形式特点的把握. (2)排列与排列数有什么区别？ 提示：“排列”是指从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数. “排列数”是指从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，是一个数.,【即时练】 已知 30，则x等于_. 【解析】 x(x1)30，解得x16，x25(舍去). 答案：6,【题型示范】 类型一 排列数的计算问题 【典例1】 (1)456(n1)n等于( ) (2)计算：,【解题探究】1.排列数 是几个因式的乘积？最大、最小数 分别是什么？ 2.题(2)中 之间有怎样的关系？ 【探究提示】1.排列数 中共有m个因式，其中最大数是n， 最小数是n-m+1.,【自主解答】(1)选D.456(n1)n中共有n-4+1 =n-3个因式，最大数为n，最小数为4，故456(n1) n=,【方法技巧】排列数的计算方法 (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用. (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量.,【变式训练】计算： 【解析】方法一： 方法二：,【补偿训练】乘积m(m+1)(m+2)(m+3)(m+20)可表示为( ) 【解析】选D.因为m，m+1，m+2，m+3，m+20中最大的数 为m+20，且共有m+20m+121个，所以m(m+1)(m+2) (m+3)(m+20) .故选D.,类型二 与排列数有关的方程、不等式及证明问题 【典例2】 (1)已知 ，则logn25的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.不确定 (2)解下列方程或不等式：,【解题探究】1.题(1)中的 与 用排列数公式可表示为 什么？ 2.解形如题(2)的方程或不等式时，首先应对式子作如何处 理？ 【探究提示】 2.应先利用排列数公式进行展开，再进行其他处理.,【自主解答】(1)选B.因为 ，所以2n(2n-1)(2n -2)=2(n+1)n(n-1)(n-2)， 由题意知n3，整理方程， 解得n=5，所以logn25=2. (2)因为 所以x3,xN*, 由 得(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2). 化简得，4x2-35x+69=0， 解得，x1=3,x2= (舍). 所以方程的解为x=3.,由 得3x8,xN*, 化简得，x2-19x+840， 解得，7x12,所以x=8.,【延伸探究】若将题(2)中的变成 ，求x的值. 【解题指南】先求出x的范围，然后将 变为关于x 的一元二次不等式，求出x的值. 【解析】因为 ，所以x3,xN*， 由排列数公式，原不等式可化为 (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)140x(x-1)(x-2)， 化简得，4x2-35x+690，解得，3x ， 因为xN*,所以x=4或x=5.,【方法技巧】排列数的化简与证明技巧 应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化 简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在 联系.解题时要灵活地运用如下变式： n!=n(n-1)!； nn!=(n+1)!-n!；,【变式训练】求证： 【证明】,【补偿训练】解方程： 【解析】由排列数公式可知，方程可化为: 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1). 因为x3且xN*， 所以3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1). 即3x217x+10=0， 解得x=5或x= (舍去)， 所以x=5.,类型三 利用排列与排列数解简单计数应用题 【典例3】 (1)从1,2,3，4四个数中任取两个数字可组成_个无重复数字的两位数. (2)(2014兰州高二检测)一条铁路原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了m(m1)个车站，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？,【解题探究】1.题(1)中每一个两位数对应怎样的一个排列？所求两位数的个数是怎样的一个排列数？ 2.题(2)中每一种车票对应怎样的一个排列？ 【探究提示】1.每一个两位数对应从4个不同元素中选取2个元素的一个排列，故所求两位数的个数为 . 2.每一种车票对应从n个或n+m个不同元素中任取2个元素的一个排列.,【自主解答】(1)两位数有十位和个位两个位置，按顺序从4个 数字中任取2个数字依次排列，共有 =12个. 答案：12,(2)因为原有车站n个，所以原有客运车票 种，又现有 (n+m)个车站，现有客运车票 种. 所以 所以(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62, 所以 所以 ，即62m2-m. 所以m2-m-621， 从而得出1m ,所以1m8.即m=2时， 当m=3，4，5，6，7，8时，n均不为整数， 故只有n=15,m=2符合题意， 即原有15个车站，现有17个车站.,【方法技巧】 1.利用排列与排列数解排列应用题的基本思想,2.解简单排列应用题的思路 (1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序. (2)如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m(mn)个元素的每一种排列对应的是什么事件. (3)运用排列数公式求解.,【变式训练】沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、 常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站(这 六个大站间)准备多少种不同的车票？ 【解析】对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车 票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此每 张火车票对应从6个不同元素(大站)中任取2个元素(起点站和 终点站)的一种排列，所以问题归结为求从6个不同元素中任取 2个元素的排列数，故有 =65=30种.,【补偿训练】有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(4) 班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种 不同的安排方法？ 【解析】从5个不同的课题中选3个，由3个兴趣小组进行研 究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排 列.因此不同的安排方法有 =543=60(种).,【易错误区】忽视排列数中的隐含条件致误 【典例】不等式 的解集为( ) A.n|-1n5 B.1,2,3,4 C.3,4 D.4,【解析】选C.由不等式 得(n-1)(n-2)-n7, 整理得n24n50， 解得1n5. 又因为n12且nN*, 即n3且nN*, 所以n=3或n=4， 故不等式 的解集为3,4.,【常见误区】,【防范措施】 隐含条件的挖掘及公式的灵活选用 对题目中的条件要认真分析，找出隐含条件，如本例中的n12且nN*.另外在求解与证明中要灵活选用以减少运算量和失误，如本例中选用乘积式则较简单.,【类题试解】已知 ，则n为( ) A.7,8,9,10,11,12 B.8,9 C.7,8 D.7,【解析】选C.由排列数公式得， 所以 即 所以 化简为n2-19n780，所以6n13, 因为nN*，所以n7,8,9,10,11,12. 由排列数的定义，可知n8且n-19， 即n8，所以n7或n8.,
展开阅读全文