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1.3 算法案例 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法,1.通过辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法的学习,进一步体会算法思想; 2.通过古代著名的算法,理解掌握辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法的含义;(重点) 3.了解其计算过程;(重点) 4.了解其算法程序框图和程序(难点),1. 回顾算法的三种表述： 自然语言 程序框图（三种逻辑结构） 程序语言（五种基本语句）,2.小学学过的求两个数最大公约数的方法. 先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.,例如：求两个正整数的最大公约数 （1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数,所以，25和35的最大公约数为5.,所以，49和63的最大公约数为7.,除了用这种方法外还有没有其他方法吗？,辗转相除法 （欧几里得算法）,思考：算出8 251和6 105的最大公约数.,第一步,用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8 251=6 1051+2 146. 结论：8 251和6 105的公约数就是6 105和2 146的公约数，求8 251和6 105的最大公约数，只要求出6 105和2 146的最大公约数就可以了.,为什么？,第二步,对6 105和2 146重复第一步的做法， 6 105=2 1462+1 813， 同理6 105和2 146的最大公约数也是2 146和1 813的最大公约数.,完整的过程:,8 251=6 1051+2 146,6 105=2 1462+1 813,2 146=1 8131+333,1 813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,显然37是148和37的最大公约数，也就是8 251和6 105的最大公约数.,所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数.若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.,（1）辗转相除法,（2）算法步骤 第一步,输入两个正整数m,n(mn). 第二步,计算m除以n所得的余数r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若r0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步. 第五步,输出最大公约数m.,（3）程序框图,（4）程序,INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END,更相减损术 算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之. 第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是，则用2约简；若不是则执行第二步. 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或其与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.,更相减损术 （1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数.,（2）算法步骤 第一步,输入两个正整数a,b(ab); 第二步,若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步； 第三步,把a-b的差赋予r; 第四步,如果br, 那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步； 第五步,输出最大公约数b.,（3）程序框图,（4）程序,INPUT “a,b=“;a,b WHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END,例1 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减, 986335 633528 35287 28721 21714 1477 所以，98和63的最大公约数等于7.,秦九韶算法的基本思想 对于求n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究. 思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，求f(5)的值. 若先计算各项的值，然后再相加，那么一共要做多少次乘法运算和多少次加法运算？ 4+3+2+1=10次乘法运算，5次加法运算.,思考2:在上述问题中，若先计算x2的值，然后依次计算x2x，(x2x)x，(x2x)x)x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，再将这些数与x和1相加，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？ 4次乘法运算，5次加法运算.,思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1 +a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？ f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+a2x+a1)x+a0 =(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0 = =(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.,这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？,思考4:对于f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？ 第一步,计算v1=anx+an-1. 第二步,计算v2=v1x+an-2. 第三步,计算v3=v2x+an-3. 第n步,计算vn=vn-1x+a0.,最后的一项是什么？,思考5:上述求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？ 思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？ vk=vk-1x+an-k (k=1，2，n),秦九韶算法的程序设计 思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？ 第一步:输入多项式的次数n，最高次项的系数an和x的值. 第二步:令v=an，i=n-1. 第三步:输入i次项的系数ai. 第四步:v=vx+ai，i=i-1. 第五步:判断i0是否成立.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.,思考2:该算法的程序框图如何表示？,开始,输入n，an，x的值,v=an,v=vx+ai,输入ai,i0？,i=n-1,i=i-1,结束,是,输出v,否,思考3:该程序框图对应的程序如何表述？,开始,输入n，an，x的值,v=an,v=vx+ai,输入ai,i0？,i=n-1,i=i-1,结束,是,输出v,否,INPUT “n=”；n INPUT “an =”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i=0 PRINT “i=”;i INPUT “ai=”；a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END,例2 已知一个5次多项式为f(x)=4x5+2x4+3.5x3-2.6x2+ 1.7x-0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值. 解：根据秦九韶算法把多项式改写成如下形式：f(x)=(4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8. 按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值： v0=4; v1=45+2=22； v2=225+3.5=113.5； v3=113.55-2.6=564.9； v4=564.95+1.7=2 826.2； v5=2 826.25-0.8=14 130.2. 所以f(5)=14 130.2.,阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？ 解：求多项式 f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4在x=a时的值.,INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHILE n5 y=y+(n+1)*an n=n+1 WEND PRINT y END,1. 用辗转相除法求225和135的最大公约数. 显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数.,225=1351+90,135=901+45,90=452,2.利用辗转相除法求两数4 081与20 723的最大公约数. 20 723 =4 0815+318; 4 081 =31812+265; 318=2651+53; 265=535+0.,所以4 081与20 723的最大公约数是53.,3.用秦九韶算法求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当 x=5时的值. 解:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 然后由内向外逐层计算一次多项式当x=5时的值,即 v0=2 v1=v0x-5=25-5=5 v2=v1x-4=55-4=21 v3=v2x+3=215+3=108 v4=v3x-6=1085-6=534 v5=v4x+7=5345+7=2 677 所以,当x=5时,多项式的值是2 677.,1.比较辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时，计算次数的区别较明显. （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0而得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.,2.评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.,昨天的努力就是今天的收获，今天的努力就是未来的希望.岁月不饶人，不妨现在就行动！,
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