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1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理,二项式定理,右边的式子,1.判一判 (正确的打“”，错误的打“”) (1)(a+b)n展开式中共有n项.( ) (2)二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第r+1项相同.( ) (3) 是(a+b)n展开式中的第k项.( ),【解析】(1)错误.(a+b)n展开式中共有n+1项. (2)错误.(a+b)n展开式中第r+1项为 ，而(b+a)n展开式 中第r+1项为 (3)错误. 是(a+b)n展开式中的第k+1项. 答案：(1) (2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1) 的二项展开式中第4项是_. (2)展开 为_. (3)(1+x)7的展开式中x2项的系数是_.,【解析】(1)展开式的通项公式为 所以第4项为 答案： 答案：,(3)(1+x)7展开式中 令k=2，得x2项的系数是 =21. 答案：21,【要点探究】 知识点 二项式定理及其通项公式 1.二项展开式的特点 (1)展开式共有n+1项. (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.,2.对通项公式的四点说明 (1)通项 是(a+b)n的展开式的第r+1项，这里r=0,1, ,n. (2)二项式(a+b)n的第r+1项 和(b+a)n的展开式的第r+1 项 是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不 能随便交换的. (3)注意二项式系数 与展开式中对应项的系数不一定相等， 二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负.,(4)通项公式是在(a+b)n这个标准形式下而言的，如(a-b)n的 二项展开式的通项公式是 (只需把-b看成b代 入二项式定理)，这与 是不同的，在这里对应项的 二项式系数是相等的，都是 ，但项的系数一个是 ,一 个是 ,可看出二项式系数与项的系数是不同的概念.,【知识拓展】二项式定理的证明 (a+b)n是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或b.而且每个(a+b)中的a或b选定后才能得到展开式的一项.由分步计数原理可知展开式共有2n项(包括同类项)，其中每一项都是an-kbk的形式，k=0，1，n； 对于每一项an-kbk，它是由n-k个(a+b)选了a，k个(a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理.,【微思考】 (1)(a+b)n展开式中各项前的系数代表着什么？ 提示：各项前的系数依次为组合数 代表着这 些项在展开式中出现的次数. (2)二项展开式中一定含有常数项吗？ 提示：不一定.由 可知，也可能无常数项.,【即时练】 1.在 的二项展开式中，x5的系数为_. 【解析】因为 由题意知15-5r=5，解得r=2. 所以 即为所求x5的系数. 答案：40,2.(1+2x)5的展开式的第3项的系数为_，第三项的二 项式系数为_. 【解析】(1+2x)5的展开式的第3项的系数为 =40,第三项的 二项式系数为 =10. 答案：40 10,【题型示范】 类型一 二项式定理的正用和逆用 【典例1】 (1)计算： (2)用二项式定理展开,【解题探究】1.题(1)中式子有什么结构特征？如何与二项式 定理联系？ 2.题(2)中运用二项式定理展开二项式的关键是什么? 【探究提示】1.式子是按x-1的降幂排列的，但与二项式定理 比较可知式子中缺少(x-1)0项，进而可构造(x-1)+15. 2.关键是记准展开式,根据二项式的结构特征进行必要的变形, 可使展开二项式的过程得到简化.,【自主解答】(1)原式= 答案：x5-1,(2)方法一： 方法二：,【方法技巧】运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(ab)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.,【变式训练】求二项式(a2b)4的展开式. 【解析】根据二项式定理得,【误区警示】运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把2b中的负号忽略.,【补偿训练】计算： 【解析】设 则 所以 答案：,类型二 求二项展开式的特定项 【典例2】 (1)(2014湖南高考) 的展开式中x2y3的系数是( ) A.20 B.5 C.5 D.20 (2)二项式 的展开式中的常数项为_.,【解题探究】 1.题(1)中x2y3是二项式 的展开式中的第几项？ 2.题(2)中二项展开式中的常数项有什么特征？ 【探究提示】1.由通项公式可知，x2y3是二项式 展开式中的第4项. 2.对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项).,【自主解答】(1)选A.因为 所以x2y3的 系数是20. 令62r=0，得r=3， 所以 答案：-20,【延伸探究】题(2)中第3项的系数为_，第3项的二项 式系数为_. 【解析】因为 所以二项展开式中第3项的系数为60，第3项的二项式系数为 答案：60 15,【方法技巧】1.求二项展开式特定项的步骤,2.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施 (1)求第k项. (2)求常数项.对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项). (3)求有理项.对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.,(4)求整式项.求二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致 提醒：在实际求解时，若通项中含有根式，宜把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误.,3.正确区分二项式系数与指定某一项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.,【变式训练】求二项式 展开式中的有理项. 【解题指南】写出展开式的通项，令通项公式中x的指数是整 数. 【解析】 令 Z(0r9),得r=3或r=9， 所以当r=3时， 当r=9时， 综上：展开式中的有理项为-84x4与-x3.,【补偿训练】若 展开式的常数项为60，则常数a的值 为_. 【解析】由二项式定理可知 令6-3r=0，得r=2，所以 所以15a=60，所以a=4. 答案：4,【拓展类型】二项式定理的应用(整除问题) 【备选例题】(1)8011被9除的余数为_. (2)证明：32n+2-8n-9(nN*)能被64整除.,【解析】(1)因为 =81k-1(kZ), 因为kZ,所以81k-1Z，所以81k-1被9除余8,即8011被9除的 余数为8. 答案：8,由于各项均能被64整除，所以32n+2-8n-9(nN*)能被64整除.,【方法技巧】整除性问题或求余数问题的处理方法 (1)解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式. (2)用二项式定理解决an+b整除(或余数)问题时，一般需要将底数写成除数m的整数倍加上或减去r(1rm)的形式，利用二项展开式求解. (3)要注意余数的范围,a=cr+b式子中b为余数,b0,r),r是除数,利用二项式定理展开式变形后,若剩余部分是负数要注意转换.,(4)利用二项式定量证明有关多项式(数值)的整除问题时，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式.,【易错误区】混淆二项式系数与项的系数而致误 【典例】(2014日照高二检测)若(x- )n的展开式中第二项 与第四项的系数之比为12,则展开式中第三项的二项式系数 为_.,【解析】(x- )n的展开式中第二项与第四项分别为 由题意得 ， 即n2-3n-4=0， 解得n=4或n=-1(舍去). 所以 所以第三项的二项式系数为 =6. 答案：6,【常见误区】,【防范措施】 1.注意概念的区分 对概念的把握和区分在解题中往往起到关键的作用.如本例易将“二项展开式中的二项式系数”与“二项展开式中项的系数”混为一谈.,2.审题细致看清条件 在解决二项式问题时，一定注意分析问题具体是哪一项,到底是什么样的系数.熟练把握二项式定理及通项公式.同时要养成良好的思维习惯.如本例条件是“第二项与第四项的系数”，一是指明第二项和第四项,二是指明是系数而不是二项式系数.,【类题试解】(1)(2014临沂高二检测)若 的二项展 开式中x3的系数为 ，则a=_(用数字作答). 【解析】因为 ，当12-3r=3时，r=3， 所以 ，即a=2. 答案：2,(2)已知 的展开式中第5项的二项式系数与第3项的二 项式系数的比为143，则展开式中的常数项为_. 【解析】由已知条件得： =143,整理得：n2-5n-50=0, 所以n=10, 所以展开式的通项为： 令 ，得k=2, 所以常数项为第三项 答案：180,
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