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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教版 必修2,空间几何体,第一章,1.2 空间几何体的三视图和直观图,第一章,1.2.3 空间几何体的直观图,1给出一个空间图形，如何把它画在平面内，使得它既富有立体感又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，是我们本节课研究的重点 2初中我们就学会了在平面上画立方体和长方体，它们的六个面积有两个面画成了正方形或长方形，其余各面都画成了平行四边形，这样画出的几何体才有立体感,知识衔接,3一个几何体的三视图如图，则组成该几何体的简单几何体为( ) A圆柱和圆锥 B正方体和圆锥 C四棱柱和圆锥 D正方体和球 答案 C,解析 由正视图和侧视图可知，该几何体的上部可能为棱锥或圆锥，下部可能为棱柱和圆柱，结合俯视图为圆和圆心及正方形知，上部是圆锥，下部是四棱柱,1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相_的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面 (2)在已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_于x轴或y轴的线段 (3)在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度_，平行于y轴的线段，长度变为原来的_,自主预习,垂直,平行,不变,一半,名师点拨 用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形,2画空间几何体的直观图的步骤 (1)在几何体中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使xOy90，xOz90. (2)画出与Ox，Oy，Oz对应的轴Ox，Oy，Oz，使xOy45(或135)，xOz90，xOy所确定的平面表示水平平面,(3)在几何体中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成_于x轴、y轴或z轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同 (4)在几何体中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度_，平行于y轴的线段，长度为原来的_ (5)擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图,平行,不变,一半,名师点拨 用斜二测画法画几何体的直观图时，与画水平放置的平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变，在直观图中，平面xOy表示水平平面，平面yOz和zOx表示直立平面,3三视图与直观图的异同,1在已知图形中平行于x轴的线段AB6 cm，则在直观图中线段AB_cm；在已知图形中平行于y轴的线段CD4 cm，则在直观图中线段CD_cm. 答案 6 2,预习自测,2在空间几何体中，平行于z轴的线段AB10 cm，则在直观图中对应的线段AB_cm. 答案 10 解析 由于平行于z轴的线段在直观图中保持长度不变，则ABAB10 cm.,3水平放置的ABC的直观图如图所示，已知AC3，BC2，求AB边上的中线的实际长度为多少,画正五边形的直观图 探究 1如何建立直角坐标系 2如何确定不在坐标轴上的点 3建立坐标系xOy后，B、E两点不在坐标轴上或平行于坐标轴的直线上，故需作BGx轴于G，EHx轴于H.,水平放置的平面图形直观图的画法,互动探究,画法 (1)以正五边形的中心为原点O，建立如图(1)所示的直角坐标系xOy，再建立如图(2)所示的坐标系xOy，使xOy45；,规律总结：画平面图形的直观图的关键点 画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或与轴平行的线段上；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，遇到这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将其转化到与轴平行的线段上来确定 特别提醒：同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同,画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图 解析 (1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45.,用斜二测画法画出六棱锥PABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定) 解析 画法：(1)画六棱锥PABCDEF的底面 在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于O(如图1所示)，画相应的x轴和y轴、z轴，三轴交于O，使xOy45，xOz90(如图2所示),画几何体的直观图,(2)画六棱锥PABCDEF的顶点，在Oz轴上截取OPOP. (3)成图连接PA，PB，PC，PD，PE，PF，并擦去x轴，y轴，z轴，便得到六棱锥PABCDEF的直观图PABCDEF(图3),规律总结：利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则： 画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示 画法规则可简记为：两轴夹角为45，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半 画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴,用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCDABCD的直观图 画法 (1)画轴如图所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.,(3)画侧棱，过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA，BB，CC，DD. (4)成图顺次连接A，B，C，D，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图),由几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图,由三视图画直观图,探索延拓,探究 先根据该几何体的三视图得到该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆台，再利用“斜二测画法”画出该几何体的直观图 画法 (1)画轴如图，画x轴、y轴、z轴，使xOy45，xOz90. (2)画圆台的两底面利用斜二测画法，画出底面O，在z轴上截取OO，使OO等于三视图中相应的高度，过O作Ox的平行线Ox，作Oy的平行线Oy，利用Ox与Oy画出上底面O(与画O一样),(3)画圆锥的顶点在Oz上取一点P，使PO等于三视图中相应的高度 (4)成图连接PA，PB，AA，BB，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图.,(1)利用下图所示的三视图，画出它的直观图 分析 由正视图和俯视图知该几何体为柱体，由侧视图知，该几何体是一横放的三棱柱,解析 该几何体是一个三棱柱，直观图如下图所示,(2)下图是一个几何体的直观图，画出它的三视图,解析 三视图如图所示,易错点 对斜二测画法理解不透，导致判断错误 如图所示，ABC水平放置的直观图为ABC，BAC30，ACB90，请用作图法画出原ABC，并量出ABC的各内角，BAC是否等于BAC的2倍？BCA是否等于BCA？,误区警示,错解 BAC2BAC，BCABCA 错因分析 错误的原因是对斜二测画法理解不透，在用斜二测画法画直观图时，角的度数一般会发生变化，但这种变化并不是角的度数减小了一半，它的变化与角的两边的位置有关 正解 如图所示，画出直角坐标系xOy，以点A为原点在直观图中过C作CDOy轴，交AB于D，在Ox轴上截取ABAB，ADAD.过D作DCOy轴，使DC2DC，连接AC，BC，则ABC为原三角形用量角器量出BAC，可以得出BAC60，所以BAC2BAC，BCABCA.,如图所示的是水平放置的三角形ABC在直角坐标系中的直观图，其中D为AC的中点，原ABC中，ACB30，则原图形中与线段BD的长相等的线段有_. 答案 AD，DC,解析 先按照斜二测画法把直观图还原为原来的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD长度相等的线段，把ABC还原为平面图形后为直角三角形，则D为斜边AC的中点,1下列关于直观图的说法不正确的是( ) A原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y轴，长度不变 B原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x轴，长度不变 C画与直角坐标系xOy对应的xOy时，xOy可以画成135 D在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同 答案 A 解析 平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错,2如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这两条线段( ) A平行且相等 B平行不相等 C相等不平行 D既不平行也不相等 答案 A,3在用斜二测画法画水平放置的ABC时，若A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，A( ) A45 B135 C90 D45或135 答案 D 解析 因A的两边平行于x轴、y轴，故A90，在直观图中，按斜二测画法规则知xOy45或135，即A45或135.,答案 C 解析 ABx轴，CDy轴， ABAB，CD2CD， ABAB2CD2(2CD)4CD.,5用斜二测画法画一个底面边长为4 cm，高为6 cm的正六棱柱的直观图 分析 要画正六棱柱的直观图，根据斜二测画法的画法规则，只需建立恰当的坐标系，画出下底面的直观图，再根据正六棱柱的对称性确定上底面的六个顶点，即可根据斜二测画法的规则及画直观图的步骤可得正六棱柱的直观图,画法 (1)画轴：画x轴、y轴、z轴，记坐标原点为O，如图(1)所示 (2)画底面：按x轴、y轴画边长为4 cm的正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上截取AA、BB、CC、DD、EE、FF，使它们都等于6 cm. (4)成图：顺次连接A，B，C，D，E，F，并加以整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图，如图(2)所示,
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