2019-2020年高中数学复习讲义 第三章 三角函数A.doc

2019-2020年高中数学复习讲义 第三章 三角函数A【知识导读】任意角的概念角度制与弧度制任意角的三角函数弧长与扇形面积公式三角函数的图象和性质和 角公 式差 角公 式几个三角恒等式倍 角公 式同角三角函数关系诱 导公 式正弦定理与余弦定理解斜三角形及其应用化简、计算、求值与证明【方法点拨】三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法“三角法”这一部分的内容，具有以下几个特点：1公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.2思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.3变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.4应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.第1课 三角函数的概念【考点导读】1 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式及扇形的面积公式（为弧长）解决问题.2 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点（不同于坐标原点），设（），则的三个三角函数值定义为：从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域为3 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）另外，熟记、的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.4 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题【基础练习】1 化成的形式是 第二或第四象限2已知为第三象限角，则所在的象限是 3已知角的终边过点，则=， = 正4的符号为 5已知角的终边上一点（），且，求，的值解：由三角函数定义知，当时，；当时，【范例解析】例1.（1）已知角的终边经过一点，求的值；（2）已知角的终边在一条直线上，求，的值分析：利用三角函数定义求解解：（1）由已知，当时，则；当时，则（2）设点是角的终边上一点，则；当时，角是第一象限角，则；当时，角是第三象限角，则点评：要注意对参数进行分类讨论例2.（1）若，则在第_象限（2）若角是第二象限角，则，中能确定是正值的有_个解：（1）由，得，同号，故在第一，三象限（2）由角是第二象限角，即，得，故仅有为正值点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号例3. 一扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？分析：选取变量，建立目标函数求最值解：设扇形的半径为x，则弧长为，故面积为，当时，面积最大，此时，所以当弧度时，扇形面积最大25点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数【反馈演练】二1若且则在第_象限 三2已知，则点在第_象限3已知角是第二象限，且为其终边上一点，若，则m的值为_4将时钟的分针拨快，则时针转过的弧度为5若，且与终边相同，则= 6已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_，这个圆心角所在的扇形的面积是_ 7（1）已知扇形的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积（2）若扇形的面积为8，当扇形的中心角为多少弧度时，该扇形周长最小简解：（1）该扇形面积2；（2），得，当且仅当时取等号此时，第2课 同角三角函数关系及诱导公式【考点导读】1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用【基础练习】1. tan600=_2. 已知是第四象限角，则_ 233.已知，且，则tan_ 4.sin15cos75+cos15sin105=_1_【范例解析】例1.已知，求，的值分析：利用诱导公式结合同角关系，求值解：由，得，是第二，三象限角若是第二象限角，则，；若是第三象限角，则，点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复例2.已知是三角形的内角，若，求的值分析：先求出的值，联立方程组求解解：由两边平方，得，即又是三角形的内角，由，又，得联立方程组，解得，得点评：由于，因此式子，三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二【反馈演练】1已知,则的值为_2“”是“A=30”的必要而不充分条件3设,且，则的取值范围是4已知，且，则的值是 5（1）已知，且，求的值（2）已知，求的值解：（1）由，得原式=（2），6已知，求 （I）的值； （II）的值 解：（I） ；所以=（II）由，于是第3课 两角和与差及倍角公式（一）【考点导读】1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”【基础练习】1. _3cos2x2. 化简_ 3. 若f(sinx)3cos2x，则f(cosx)_ 4.化简：_ 【范例解析】例 .化简：（1）；（2）（1）分析一：降次，切化弦解法一：原式=分析二：变“复角”为“单角”解法二：原式（2）原式=，原式=点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等【反馈演练】1化简2若，化简_3若0，sin cos = ，sin cos = b，则与的大小关系是_4若，则的取值范围是_5已知、均为锐角，且，则= 1 .6化简：解：原式=7求证：证明：左边=右边8化简：解：原式= 第4课 两角和与差及倍角公式（二）【考点导读】1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” 【基础练习】1写出下列各式的值： （1）_；（2）_；（3）_；（4）_1_2已知则=_ 3求值：（1）_；（2）_4求值：_1_5已知，则_6若，则_【范例解析】例1.求值：（1）；（2）分析：切化弦，通分解：（1）原式=（2），又原式=点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换例2.设，且，求，分析：， 解：由，得，同理，可得，同理，得点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：，等例3.若，求的值分析一：解法一：，又，所以，原式=分析二：解法二：原式=又，所以，原式点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路【反馈演练】1设，若，则=_2已知tan =2，则tan的值为_，tan的值为_3若，则=_4若，则5求值：_6已知求的值解：又从而，